§ 10.6. Расширения сепарабельных алгебр

В этом параграфе через 5 обозначается коммутативная R-алгебра. Мы изучим связь между сепарабельностью А как -алгебры и сепарабельностью как -алгебры, где алгебра, получаемая из А расширением скаляров.

Предложение а. Если А — сепарабельная R-алгебра, то сепарабельная -алгебра.

Доказательство. С помощью гомоморфизма между алгебрами любой -бимодуль наделяется структурой -бимодуля по формулам для всех При этом В самом деле, если и то ибо является бимодулем над -алгеброй. Поэтому в том и только том случае, если для всех т. е. . Пусть сюръективный гомоморфизм -бимодулей. Тогда в силу предложения 10.4 и сепарабельности алгебры Так как произвольный сюръективный гомоморфизм -бимодулей, предложение 10.4 приводит к требуемому заключению о сепарабельности -алгебры

Данное предложение допускает обращение. При этом, однако, приходится наложить небольшое ограничение на алгебру .

Предложение Предположим, что существует такой гомоморфизм R-модулей , что Тогда из сепарабельности S-алгебры , где А — некоторая R-алгебра, вытекает сепарабельность R-алгебры А.

Доказательство. Сделаем сначала несколько предварительных замечаний, касающихся связи между -бимодулями и -бимодулями. Согласно лемме 9.3, для любого -бимодуля тензорное произведение является -бимодулем, причем для выполняются соотношения

Как и в предложении можно также рассматривать как -бимодульс операциями

для всех В частности, если то

Определим равенством где заданный гомоморфизм -модулей. Таким образом, является композицией отображений

Используя (3), легко показать, что является гомоморфизмом -бимодулей. Кроме того,

В самом деле, из (2) с очевидностью вытекает, что так что (ибо — гомоморфизм -бимодулей). Для получения обратного включения, заметим, что если то, согласно (1), Теперь мы в состоянии проверить критерий из предложения 10.4. Пусть сюръективный гомоморфизм -бимодулей, и мы намерены силу предложений и 9.3 отображение является сюръективным гомоморфизмом -бимодулей. Тогда из сепарабельности вытекает равенство

Если и то таким образом, Последнее условие перестановочности вместе с равенствами (4) и (5) приводят к требуемому заключению:

Следствие. F-алгебра А сепарабельна в том и только том случае, когда она конечномерна и для любого поля являющегося расширением поля алгебра полупроста.

Доказательство. Если алгебра А сепарабельна, то в силу следствия 10.3 размерность конечна, а, согласно предложению а и следствию алгебра полупроста для любого расширения Для доказательства обратного утверждения возьмем в качестве алгебраическое замыкание поля В силу наших предположений алгебра полупроста и по лемме 9.4. Поэтому структура алгебры описывается следствием а именно для подходящих Из примера 10.2а и предложения вытекает, что сепарабельная -алгебра. Так как для некоторого -подпространства то существует гомоморфизм -пространств для которого Согласно предложению -алгебра А сепарабельна.

Упражнения

(см. скан)