§ 14.6. Прямые пределы

Этот параграф содержит определение прямых пределов, а также теоремы существования и единственности, связанные с этим понятием. Основной результат устанавливает изоморфизм между группой Брауэра поля F и второй группой его когомологий Галуа, которая строится как прямой предел групп

Определение а. Пусть частично упорядоченное множество с отношением порядка Прямая (обратная) система групп над есть пара таких функций на что группа для каждого гомоморфизм группы в безответственно для каждой пары при этом предполагается, что тождественный гомоморфизм для всех и что влечет за собой (соответственно Если и —прямые (обратные) системы над то морфизмом в называется функция на I, такая, что является гомоморфизмом и если то (соответственно Иначе говоря, диаграмма

коммутативна для всех

Морфизмы прямых и обратных систем перемножаются покомпонентно: если и морфизмы, то -морфизм, для которого при всех Тождественный морфизм системы есть морфизм, значением которого в точке является Таким образом, класс всех обратных (прямых) систем над образует категорию. Для дальнейшего отметим, что морфизм есть изоморфизм (т. е. обратим в этой категории) тогда и только тогда, когда все изоморфизмы.

Определения прямых и обратных систем двойственны в категорном смысле. В результате этого основные понятия теории обратных систем можно получить из соответствующих понятий в теории прямых систем с помощью «обращения стрелок». Это замечание позволяет сосредоточить наше внимание на прямых системах. Некоторые факты об обратных системах требуют иной техники; она будет описана в упр. 3.

В большинстве приложений, связанных с прямыми системами, множество индексов является направленным, т. е. для каждой пары существует элемент такой, что Во всех примерах, которые мы будем рассматривать, множество обладает этим свойством.

Пример а. Для заданного поля F пусть множество расширений Галуа поля которые лежат в его алгебраическом замыкании. Частично упорядочим I, положив если Множество является направленным, так как композит расширений Галуа является снова расширением Галуа. Имеются две прямые и одна обратная системы групп над которые будут нас интересовать.

(i) Система относительных групп Брауэра является прямой системой абелевых групп и отображений вложения определенных, когда

(ii) Система групп когомологий является прямой системой абелевых групп и отображений инфляции

определенных при

(iii) Система групп Галуа является обратной системой групп и отображений ограничения группы определенных при

Предложение 14.5 можно кратко сформулировать в терминах определения а следующим, образом: изоморфизм систем и

Определение Пусть - прямая система групп над I.

(i) Предпредел системы есть пара в которой — группа, а функция на I, такая, что гомоморфизм для всех

и порождается объединением

т. е. не существует собственных подгрупп группы содержащих это объединение.

(ii) Если -предпределы системы то морфизмом в называется гомоморфизм группы в группу такой, что для всех (Из (2) легко следует, что гомоморфизм обязательно сюръективен.)

Легко проверяется, что композиция морфизмов предпределов есть морфизм и что морфизм предпредела Таким образом, класс предпределов системы также образует категорию.

Если индексирующее множество направлено, то условие (2) в определении предпредела эквивалентно более простому свойству

В самом деле, если направлено, то является подгруппой группы

Лемма а. Пусть и -предпределы системы Тогда существует не более одного морфизма

Доказательство. Если морфизмы из в Для всех Поэтому Так как множество является подгруппой в то из (2) следует, что

Определение с. Пусть прямая система над Пределом системы называется ее предпредел такой, что для всех предпределов системы существуют морфизмы в

Предложение а. Любые два предела системы изоморфны.

Доказательство. По определению предела существуют гомоморфизмы Так как гомоморфизмы, то из леммы а вытекает, что

Единственность пределов (с точностью до изоморфизма) делает определение предела системы корректным. Обозначение (или просто означает, что — предел прямой системы

Для того чтобы доказать, что прямые пределы существуют, можно использовать свободные произведения. Для прямых систем абелевых групп свободные произведения можно заменить прямыми суммами.

Предложение Если — прямая система абелевых групп над направленным множеством, то ее предел существует.

Доказательство. Пусть направленное множество индексов, индексирующее систему Для каждого обозначим через естественное вложение Определим как подгруппу группы порожденную объединением Пусть где — естественная проекция. Мы покажем, что Если то по определению Поскольку группа порождается множеством то порождается множеством Следовательно, предпредел системы Пусть -другой предпредел системы Так как множество I направлено и все группы абелевы, то абелевой является и группа Следовательно, существует гомоморфизм задаваемый формулой Для которого стхг при всех Кроме того, а так что Таким образом, где гомоморфизм. Отображение является морфизмом в

так как Поскольку -произвольный предпредел системы то

Следующая лемма характеризует пределы в одном частном случае.

Лемма Пусть прямая система групп над направленным множеством Если предпредел системы такой, что все инъективны, то

Доказательство. Пусть -предпредел системы Положим Поскольку каждый гомоморфизм инъективен и направлено, множество гомоморфизм в с областью определения (в силу (3)). По определению так что морфизм Следовательно,

Пример Для произвольного поля где гомоморфизм вложения.

Лемма с. Пусть 9: ->( морфизм прямых систем групп над Если то существует единственный морфизм такой, что для всех

Доказательство. Произведение определяет предпредел системы Так как -предел то существует единственный морфизм т. е.

Запишем где имеют тот же смысл, что и в лемме с. Для морфизмов имеет место равенство ввиду свойства единственности из леммы с. Имеет место также следующее равенство: Таким образом, предел является функтором на категории прямых систем.

Основной результат этого параграфа следует непосредственно из предложения леммы с и примеров

Теорема. Для произвольного поля F

является изоморфизмом.

Группа есть вторая группа когомологий

Галуа поля Если сепарабельное алгебраическое замыкание поля то группу можно рассматривать как вторую группу когомологий -бимодуля . Однако такое определение не согласуется с определением групп когомологий, которое было дано в § 11.1. Необходимо модифицировать определение групп коцепей с учетом топологии бесконечной группы Галуа

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)