ГЛАВА 9. Тензорные произведения

С введением тензорных произведений теория ассоциативных алгебр приобретает как бы новое измерение. Та часть теории, которая не использует тензорные произведения, носит аддитивный характер; тензорные произведения вносят в нее мультипликативный аспект.

Цель этой главы — описать эту мощную конструкцию и показать, как она преобразует теорию алгебр. Представленные здесь результаты, особенно предложение 9.2с, следствие 9.3b и предложение 9.4b, будут часто использоваться в последующих главах. Эти утверждения играют важную роль в теории центральных простых алгебр, несмотря на то что их доказательства весьма просты. В действительности ни одна из теорем данной главы не обладает значительной глубиной. Аппарат тензорных произведений является в первую очередь удобным формализмом, полезность которого демонстрирует значение трудных понятий и определений.

Два заключительных параграфа этой главы содержат менее традиционный материал, чем § 9.1-9.4. В § 9.5 мы определяем индуцированные модули, которые играют важную роль в теории представлений групп. Нам, однако, понадобится использовать это понятие лишь при доказательстве одной из частей теоремы Хигмана о групповых алгебрах конечного типа. Последний параграф главы содержит краткое введение в теорию эквивалентности Мориты для алгебр. Мы докажем простые свойства эквивалентности Мориты, которые нам понадобятся в заключительной части гл. 11.

§ 9.1. Тензорные произведения R-модулей

В большинстве приложений тензорных произведений в теории алгебр используются произведения над коммутативным кольцом скаляров В этом параграфе мы рассмотрим основные результаты о тензорных произведениях R-модулей. В следующем параграфе будут изучаться R-алгебры.

Определение. Пусть некоторые -модули. Их тензорным произведением называется -модуль , наделенный билинейным отображением которое обозначается через такой, что

(i) как -модуль порождается множеством ;

(ii) (универсальность) если билинейное отображение -модулей (т. е. для любых отображения являются гомоморфизмами модулей), то существует такой гомоморфизм что для всех

Следует указать на некоторые аспекты этого обманчиво простого определения. Предположение о билинейности отображения означает выполнение четырех тождеств, которые неоднократно будут использоваться при работе с тензорными произведениями:

Предположение о том, что модуль порождается элементами (называемыми тензорами ранга один), ввиду (4) означает, что любой элемент из допускает представление вида Тем не менее в большинстве случаев не существует естественного канонического выражения для элементов тензорного произведения. Это обстоятельство иногда причиняет трудности, однако обычно оказывается возможным обойтись без рассмотрения произвольных элементов из воспользовавшись следующим простым соображением.

Лемма а. Если такие гомоморфизмы модуля в что для всех то

Действительно, ядро является подмодулем в содержащим все тензоры ранга один; следовательно,

Следствие а. Гомоморфизм из определения тензорного произведения определен однозначно.

Следствие Если два тензорных произведения модулей то существует единственный изоморфизм такой, что для всех и

Доказательство. Существование единственного гомоморфизма со свойством является следствием билинейности и универсальности Аналогично существует такой гомоморфизм что Из леммы а вытекает, что композиции являются тождественными отображениями.

Единственность тензорного произведения, установленная в следствии позволяет в дальнейшем вкладывать в это понятие вполне определенный смысл.

Свойство (i) из определения тензорного произведения можно использовать для доказательства сюръективности некоторых гомоморфизмов, а именно гомоморфизм удовлетворяющий условию сюръективен.

Теорема. Тензорное произведение любых двух R-модулей существует.

Дадим набросок построения модуля Пусть -свободный -модуль с базисом Определим как фактормодуль где подходящий подмодуль в Тензорами ранга один являются смежные классы и где Для того чтобы отображение ( было билинейным, необходимо и достаточно, чтобы подмодуль содержал все элементы вида

Это мотивирует следующее определение: подмодуль в порожденный всеми элементами вида (5). Условие (i) из определения тензорного произведения при этом выполняется ввиду того, что пары порождают модуль так что их образы и порождают Пусть билинейное отображение. Поскольку модуль является свободным модулем на множестве существует продолжение отображения до гомоморфизма модуля в Ввиду билинейности все элементы вида (5) лежат в Кегф. Поэтому пропускается через проекцию на Это дает такой гомоморфизм, что

Лемма Пусть некоторые R-модули. Если гомоморфизмы модулей, то существует единственный гомоморфизм

такой, что для и имеем

При этом выполняются следующие тождества (предполагается, что рассматриваемые гомоморфизмы имеют подходящие области определения и образы):

Ввиду того что являются гомоморфизмами модулей, из условий (1) и (2) вытекает билинейность отображения Поэтому из определения следует существование и единственность гомоморфизма Тождества получаются из леммы а с помощью (6), (1), (2), (3) и (4).

Предложение а. Пусть и некоторые Тогда справедливы следующие утверждения:

(i) , причем этот изоморфизм переводит

(ii) , причем этот изоморфизм переводит и

(iii) , причем этот изоморфизм переводит причем эти изоморфизмы переводят соответственно и в .

Утверждение (i) можно доказать, используя тождества из леммы и характеризацию прямых сумм посредством гомоморфизмов проекции и вложения. Можно также заметить, что билинейное отображение удовлетворяет всем требованиям из определения тензорного произведения модулей Применяя дважды свойство универсальности, получаем гомоморфизм удовлетворяющий условию Симметричные рассуждения позволяют построить гомоморфизм из переводящий Тогда, как и в доказательстве следствия является изоморфизмом. Доказательство утверждения (iii) аналогично и даже проще. Наконец, из билинейности отображения получаем гомоморфизм удовлетворяющий условию

Далее, гомоморфизм обладает свойствами согласно (4). Таким образом, изоморфизм.

Докажем теперь важное свойство точности тензорного произведения.

Предложение Если точная последовательность R-модулей, то для любого R-модуля последовательность -где точна.

Доказательство. Очевидно, содержит все тензоры ранга один, и поэтому сюръективен. Кроме того, из вытекает так что Пусть — естественная проекция на Ввиду того что формула задает корректно определенное билинейное отображение в Следовательно, существует такой гомоморфизм что В частности, так что по лемме а. Поэтому

Если короткая точная последовательность, то в общем случае последовательность не является точной (см. упр. 4). Однако в одном важном случае точность при тензорном умножении сохраняется во всех членах.

Следствие с. Если расщепляющаяся точная последовательность, то последовательность точна.

Действительно, если гомоморфизм обладает свойством то так что инъективен.

Важный частный случай следствия с состоит в том, что при тензорном умножении векторных пространств (т. е. -модулей) точность сохраняется. В самом деле, любая короткая точная последовательность векторных пространств расщепляется.

Предложение с. Если пространства над F с базисами то множество образует базис пространства В частности,

Доказательство. Если то, согласно следствию с, отображения вложения индуцируют инъективный

гомоморфизм Поэтому, ввиду того что тензоры ранга один порождают а линейная независимость определяется через конечные подмножества, можно предполагать, что конечные множества. Следовательно,

в силу предложения а.

Доказательство этого результата иллюстрирует недостатки стандартного обозначения тензорных произведений. Дело в том, что выражение зависит не только от элементов но также и от содержащих их модулей Если рассматривать произвольные -модули, то тот факт, что элементы скажем, различны, не равны нулю или линейно независимы в вообще говоря, не мог бы служить гарантией того, что данное свойство выполняется и для соответствующих элементов (также обозначаемых через модуля В рассматриваемом случае положение спасает свойство точности тензорных произведений под полем, т. е. инъективность отображения

В ряде параграфов этой главы и в гл. 10 нам придется иметь дело с тензорными произведениями -модулей, где не обязательно коммутативная алгебра. Определение таких произведений немного сложнее определения тензорного произведения двух -модулей.

Пусть некоторая -алгебра. Предположим, что правый -модуль, левый. Тогда можно рассматривать как -модули, ограничив кольцо скаляров до Билинейное отображение произведения в -модуль называется сбалансированным, если для всех Тензорным произведением над А модулей называется -модуль наделенный билинейным сбалансированным отображением (обозначаемым через такой, что выполняются следующие условия: как -модуль порождается множеством если билинейное сбалансированное отображение, то существует такой гомоморфизм -модулей что для всех и

В общем случае тензорное произведение нельзя рассматривать как -модуль. Как мы увидим в § 9.5, исключение составляют те случаи, когда или являются бимодулями. В частности, так обстоит дело для коммутативной алгебры ибо тогда, имея правое умножение на скаляры, можно

определить левое, и наоборот. Тем не менее даже для коммутативной -алгебры А, не совпадающей с модули вообще говоря, различны. (В том случае, когда являются модулями над двумя и более коммутативными кольцами, мы, чтобы избежать путаницы, будем часто писать вместо

Большинство результатов этого параграфа легко обобщается на произведения вида Исключения составляют законы коммутативности и ассоциативности из предложения а: указанные там изоморфизмы имеют смысл (и справедливы) только для бимодулей. Тождества (1) — (4) выполняются в при условии, что Тот факт, что отображение является сбалансированным, приводит к следующему усилению условия (4):

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)