ГЛАВА 4. Радикал

Теорема Веддербёрна показывает, что класс полупростых алгебр очень узок. С другой стороны, предложение 3.1а наводит на мысль, что все артиновы алгебры полупросты «с точностью до радикала». В действительности именно так и обстоит дело. Для строгого обоснования этого утверждения нам не хватает только результата о том, что радикал является идеалом. Мы установим этот факт в § 4.1. В остальной части главы изучаются свойства радикала и приводятся его характеризации, доказываются теоремы о нильпотентных алгебрах и о радикалах групповых алгебр.

§ 4.1. Радикал алгебры

Одно из основных свойств радикала алгебры состоит в том, что он является идеалом. Доказательство этого утверждения мы начнем с одного факта о радикале произвольного модуля. Напомним, что радикалом некоторого -модуля называется пересечение всех его подмодулей для которых фактормодуль прост.

Лемма. Пусть правые -модули и Тогда так что индуцирует гомоморфизм модуля

Доказательство. Если то индуцирует инъективный гомоморфизм модуля В частности, если модуль прост, то либо либо модуль прост. В обоих случаях Таким образом, т. е. Последнее утверждение леммы очевидно. О

Предложение. Пусть А — нетривиальная R-алгебра. Тогда радикал является ее собственным (двусторонним) идеалом.

Доказательство. Для любого отображение является эндоморфизмом правого -модуля Ввиду леммы

Учитывая тот факт, что обладает единичным элементом, и применяя лемму Цорна, получаем, что в существует максимальный правый идеал Легко видеть, что модуль прост. Таким образом, так что является собственным идеалом в

Следствие а. Если R-алгебра А артинова справа, то R-алгебра полупроста.

Доказательство. Из следствия 2.4а вытекает, что алгебра полупроста как -модуль. Поэтому она полупроста и как -модуль (согласно предложению 2.1). В соответствии с леммой 2.7а Следовательно, -алгебра полупроста ввиду предложения 3.1а.

Стоит отметить, что это следствие имеет смысл благодаря тому, что радикал является идеалом, так что на фактормножестве можно ввести естественную структуру алгебры.

Приведем еще одно следствие из леммы, которое нам понадобится в следующем параграфе.

Следствие Пусть правый -модуль. Тогда

Доказательство. Для любого отображение определяет гомоморфизм -модулей так что, согласно лемме,

Упражнения

(см. скан)