§ 8.9. Корни и представления

Мы уже вплотную приблизились к завершению доказательства теоремы 8.2. Нам еще понадобится ряд фактов о пространствах с положительно определенным скалярным произведением. Для удобства читателя мы приводим эти результаты с доказательствами, несмотря на то что они хорошо известны из теории алгебр Ли.

В этом параграфе через обозначается -мерное -пространство с фиксированным базисом

На пространстве можно ввести отношение частичного порядка, считая, что если для всех В частности, вектор положителен, если для всех и вектор отрицателен, если вектор положителен. Множества положительных и отрицательных векторов обозначаются соответственно через

Пусть множество векторов из с целыми координатами относительно базиса Очевидно, что является конечно порожденной подгруппой в Положим

Пусть положительно определенное квадратичное отображение пространства т. е. отображение удовлетворяющее условиям для для отображение симметрично и билинейно. Мы также предполагаем, что для всех и Согласно предложению 8.8, эти условия выполняются, если где колчан конечного типа. Билинейное отображение ассоциированное с не обязательно отображает но, очевидно, при и, и

Если причем то

при Это доказывает неравенство Шварца

причем равенство выполняется только для линейно зависимых

Для любого положим Тогда является подпространством в Отметим, что

Действительно, если для всех ибо множество образует базис в В частности, так что .

Если то так что С другой стороны, поэтому В частности, Обычное индуктивное рассуждение, использующее следующую формулу для размерностей:

позволяет получить оценку В частности, пересечение содержит ненулевой вектор Согласно (2), Поэтому можно нормализовать таким образом, чтобы Эти рассуждения доказывают существование «дуального базиса» удовлетворяющего условиям

Для определим линейные преобразования формулой

как в § 8.8. Из условия вытекает, что

Таким образом, 0; является отражением относительно гиперплоскости Из уравнения (4) следует, что

Ввиду того что отображает все являются автоморфизмами

Обозначим через подгруппу группы порожденную множеством Ввиду условия (5) любой элемент группы можно записать в виде произведения Группа называется группой Вейля системы в случае когда мы будем называть группой Вейля колчана Из (6) вытекает, что элементы группы являются ортогональными преобразованиями, т. е.

Ввиду того что отражения а, переводят в себя, тем же свойством обладают все преобразования из

Положим Если то элементы из называются корнями колчана а базисные элементы простыми корнями. Отметим, что если то

Лемма а. Группа конечна, а множество является конечным подмножеством в

Доказательство. Положим Согласно (7) и (8), группа переставляет элементы множества

При этом действие на X является точным, ибо и Кроме того, Таким образом, для доказательства леммы достаточно показать, что множество X конечно. Если то для согласно (1) и (3). Поэтому

Лемма Пусть Тогда имеют место следующие утверждения;

(i) если и удовлетворяет условию то ;

(ii) если то существует такое целое что и вектор не является положительным.

Доказательство, (i) В силу (2) достаточно доказать следующее: если то и (и, значит, Положим так что по предположению Из (3) вытекает, что для Таким образом,

Следовательно, и как и утверждалось.

(ii) По лемме а группа конечна, так что Для некоторого целого положительного Согласно Отсюда следует, что вектор удовлетворяет условию и потому в силу В частности, все векторы не могут быть положительными.

Начиная с этого места, будем предполагать, что где такой колчан, что форма является положительно определенной. Из этого предположения следует, что

Легко видеть, что сделанные выше предположения о форме вместе с неравенством (9) означают, что для подходящего колчана (см. упр. 1).

Лемма с. Предположим, что форма положительно определена. Тогда, если вектор удовлетворяет условию то для справедливы следующие утверждения:

Доказательство. Утверждение (i) содержится в (4). Для доказательства (ii) заметим, что, согласно (1), имеем Таким образом, или . Если то Если то В этом случае из (1) и предположения о том, что вытекает, что Наконец, если то В противном случае где в силу (9).

Следствие. Запишем произвольное целое неотрицательное число в виде где и положим Тогда имеют место следующие утверждения.

(i) если то для некоторого но

(ii) пусть тогда если где то

Эти результаты непосредственно вытекают из лемм и с с учетом (7) и (8).

Теорема. Пусть ацикличный колчан, такой, что форма положительно определена. Тогда отображение определяет биекцию между классами изоморфизма неразложимых представлений и его положительными корнями.

Доказательство. В силу следствия 8.6 можно предполагать, что колчан где калиброван. Пусть неразложимое представление. Положим По лемме Пусть минимальное целое число, удовлетворяющее условию из следствия, и, скажем, где Минимальность числа означает, что если или но то вектор является положительным, но не простым корнем. Ввиду того что калиброван, из лемм и предложения 8.7 вытекает, что представление является корректно определенным неразложимым представлением колчана прилем его источник. Поскольку вектор не является положительным, из леммы выводим, что Применяя предложение 8.7 и лемму нужное число раз, мы вернемся к представлению и вектору а именно

положительный корень Ввиду того что число однозначно определяется вектором получаем, что если - другое неразложимое представление со свойством то Остается доказать, что каждый положительный корень колчана имеет вид для некоторого неразложимого представления По лемме Поэтому, согласно следствия, для некоторого минимального неотрицательного целого По лемме где Факт неразложимости представления вытекает из предложения 8.7 с использованием минимальности (как в первой части доказательства).

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)

Замечания к гл. 8

Наше изложение теории представлений колчанов базируется на статье Бернштейна, Гельфанда и В. А. Пономарева [18]. Небольшим нововведением является элементарное доказательство того факта, что неразложимые колчаны с представлениями конечного типа имеют диаграммы или основанное на примерах 8.5а, Традиционное доказательство, принадлежащее Титсу, более концептуально, однако его строгое изложение (намеченное в упр. 2 к § 8.8) может вызвать затруднения у читателей, не обладающих достаточными познаниями в области коммутативной алгебры.

Результаты статей Габриеля [34], [35] и цитированной выше работы Бернштейна, Гельфанда и Пономарева развиваются в нескольких направлениях. Здесь следует упомянуть работы Длаба и Рингеля [30], [31] и Рингеля [67]. В этих статьях результаты Габриеля распространяются на оснащенные колчаны которых каждому ребру приписан определенный вес, причем рассматриваются представления в векторных пространствах над алгебрами с делением. На основе этих более общих конструкций удается охарактеризовать некоторые классы конечномерных алгебр конечного типа над произвольным полем. Оказывается, что при этом возникают все диаграммы Дынкина. Другая задача, которая исследована Назаровой, состоит в построении неразложимых представлений некоторых колчанов бесконечного типа. Такое построение оказалось возможным для колчанов, диаграммы которых являются циклами или имеют вид, указанный в

следствиях 11.5а, b, с, d. Такие колчаны называют колчанами ручного типа. Остальные колчаны называются дикими.

Более полный обзор современных работ, посвященных представлениям колчанов и родственным вопросам, содержится в докладе А. В. Ройтера на Международном конгрессе математиков 1978 г., см. [69]