§ 11.5. Нульмерные алгебры

Цель этого параграфа — доказать, что если -алгебра А является проективным -модулем, то она сепарабельна в том и только том случае, если

Определение. Пусть некоторый -бимодуль. Тогда дифференцированием алгебры со значениями в бимодуле называется гомоморфизм -модулей удовлетворяющий правилу Лейбница

Дифференцирование алгебры со значениями в называется внутренним, если существует со свойством их для всех

Ясно, что дифференцирования — это в точности элементы из а внутренние дифференцирования — это элементы из Таким образом, дифференцирования образуют R-модуль относительно поточечных операций, в котором множество внутренних дифференцирований является подмодулем. Соответствующий фактормодуль есть в точности Таким образом, в том и только том случае, если все дифференцирования алгебры внутренние.

Пусть — пополняющий гомоморфизм правых -модулей, введенный в § 10.2. Определим отображение

равенством Очевидно, х является гомоморфизмом -модулей, причем Следовательно,

Лемма. Пусть некоторый -бимодуль, или, что эквивалентно, правый -модуль. Тогда выполняются следующие утверждения,

(i) если то является дифференцированием алгебры А со значениями в

(ii) отображение является изоморфизмом на

Доказательство, (i) Очевиднно, что является гомоморфизмом -модулей. Кроме того,

Согласно переводит и является, очевидно, гомоморфизмом -модулей. Если то для всех По лемме Пусть некоторое дифференцирование. Обозначим через гомоморфизм -модулей, определяемый условием Если положить то будет гомоморфизмом из в (как -модулей), причем для имеем

т. е. Нотле Наконец, если то ибо

(iii) Если в том и только том случае, если где — гомоморфизм левого умножения: для всех Таким образом, поскольку порождается как -модуль множеством то условие эквивалентно тому, что для некоторого что и доказывает ибо по лемме

Предложение. Пусть А — нетривиальная R-алгебра. Тогда для всех -бимодулей в том и только том случае, если А — сепарабельная R-алгебра.

Доказательство. Согласно предложению 10.2, алгебра А является сепарабельной в том и только том случае, если точная последовательность -модулей расщепляется, т. е. существует такой гомоморфизм Кегр), что ограничение является тождественным преобразованием Таким образом, если Кегр) то алгебра А сепарабельна в силу леммы. Обратно, если существует гомоморфизм Нот порождающий тождественное отображение то любой гомоморфизм Ношле имеет вид Где По лемме для любого -бимодуля

Следствие а. Пусть -нетривиальная R-алгебра, являющаяся проективным R-модулем. Тогда в том и только том случае, если А — сепарабельная R-алгебра.

Следствие Если А — сепарабельная R-алгебра, проективная как R-модуль, то любая ее система факторов расщепляется.

Упражнения

(см. скан)