Таким образом, остается описать норменныё факторгруппы 
неразветвленных расширений локального поля 
В этом параграфе будет показано, что если 
то группа 
является циклической группой порядка 
Сохраним предположения и обозначения § 17.8. Мы также будем предполагать, что 
т. е. 
неразветвленное расширение (локальных полей) степени 
Значит, 
и группы Галуа 
циклические порядка 
Автоморфизм Фробениуса а порождает группу 
а его образ 
при изоморфизме 
действует на F по правилу 
где 
В дальнейшем удобно использовать для отображений нормы и следа из 
сокращенные обозначения 
Таким образом, 
для всех 
Аналогично, 
будут обозначать отображения нормы и следа для расширения 
Отметим один стандартный факт, доказательство которого мы предоставляем читателю (упр. 1).
Лемма a. 
.
Самой важной частью доказательства основного результата является следующая лемма.
Лемма 
Пусть 
Тогда 
Доказательство. Если 
то 
в силу неархимедовости нормирования 
и леммы 17.8а. В частности, 
отображает компактное множество 
непрерывно. Следовательно, 
замкнутое подмножество множества 
и лемма будет доказана, если мы покажем, что 
плотно в 
Пусть 
Тогда
В самом деле,
С помощью аналогичного вычисления получаем равенство 
Из леммы а и равенства (1) следует, что
т. е. каждый элемент из 
можно представить в виде 
где 
Пусть 
униформизующая: 
Поскольку расширение 
неразветвлено, мы также имеем 
Из равенства (2) вытекает, что 
для всех 1. Следовательно, 
Кроме того, если 
то 
где с 
То есть 
Поэтому 
для 
Из 
с помощью индукции получаем, что 
для всех 
Следовательно, 
плотное подмножество множества 
Предложение. Пусть К — неразветвленное расширение локального поля 
Тогда группа 
является циклической группой порядка 
Кроме того, если 
является униформизующей, то элемент 
порождает группу 
Доказательство. Ввиду леммы о змее имеем следующую коммутативную диаграмму с точными строками и столбцами:
Как и в гл. 16, 
обозначает экспоненциальное отображение 
По лемме 
Следовательно, нормирование 
индуцирует изоморфизм между группами 
при котором элемент 
отображается в образующую группы 
Упражнения
(см. скан)
в случае, когда 
локальное поле. Ввиду следствия 17.7а 
где объединение берется по всем конечным неразветвленным расширениям 
Каждое неразветвленное расширение ввиду предложения 17.8 циклично, так что 
