§ 12.6. Теорема Нётер — Сколема
Цель настоящего параграфа — доказать теорему Нётер — Сколема для алгебр из класса 
Более общий результат содержится в упр. 1.
Начнем с рассмотрения частного случая теоремы Нётер — Сколема, из которого затем будет выведен общий результат.
Лемма. Пусть В — конечномерная простая F-алгебра и 
векторное пространство над полем 
Если 
гомоморфизмы 
то существует элемент 
такой, что 
для всех 
Идея доказательства заключается в том, что 
снабжают 
структурами 
-модулей. Полученные модули обязаны быть изоморфными, поскольку В — простая алгебра, а модули над конечномерными простыми алгебрами в соответствии со следствием 
классифицируются их размерностями. Искомое линейное преобразование 
есть в точности изоморфизм этих модулей. Точнее, определим 
как правый 
-модуль на 
с операцией умножения на скаляры 
и зададим операцию умножения на скаляры в 
следующим образом: и 
Стандартные вычисления показывают, что все аксиомы для модулей в 
и 
выполнены. Пусть 
изоморфизм 
-модулей, существование которого обеспечено следствием 
Тогда 
т. е. 
для всех 
Теорема Нётер — Сколема. Пусть и предположим, что В — простая подалгебра алгебры А. Если 
гомоморфизм алгебры В в алгебру А, то существует элемент 
такой, что 
для всех 
Доказательство. В силу предложения 
существует изоморфизм F-алгебр 
Положим 
где 
-гомоморфизм вложения. Поскольку алгебра 
проста по лемме 
то из леммы вытекает существование элемента 
такого, что 
для всех 
Пусть 
Так как 
обратимый элемент, то и 
обратим, причем 
Кроме того, поскольку 
изоморфизм алгебр, то
Так как изоморфизм 
инъективен, то
Полагая в 
получим 
т. е. 
последнее в силу леммы 
Аналогично, 
Поэтому 
где 
Следовательно, 
Наконец, если 
в равенстве (1), то 
и для всех 
поэтому 
