§ 13.5. Сепарабельные поля разложения

Связь между группой Брауэра поля F и группами когомологий основана на существовании для каждой алгебры конечного расширения Галуа расщепляющего А. Поскольку любое сепарабельное расширение содержится в расширении Галуа, то достаточно показать, что всегда существует поле разложения, сепарабельное над

Лемма. Пусть -алгебра с делением. Если всякое подполе алгебры чисто несепарабельно над то

Доказательство. В силу следствия алгебра содержит строго максимальное подполе Пусть Если то расширение одновременно сепарабельно и чисто несепарабельно, так что Предположим, что В этом случае для некоторого так как расширение чисто несепарабельно. Алгебраическое замыкание поля F расщепляет алгебру поэтому существует гомоморфизм алгебр такой, что Если то расширение чисто несепарабельно. Следовательно, для некоторого Таким образом,

Следовательно,

поскольку след нильпотентной матрицы равен нулю. Если то делит для всех элементов и для всех элементов Это противоречие доказывает, что в случае поля F простой характеристики.

Предложение. Если -алгебра с делением и К — максимальное подполе алгебры такое, что расширение сепарабельно, то К — строго максимальное подполе в

Доказательство. В силу леммы 13.3 и замечания, сделанного после леммы является алгеброй с делением. Так как расширение сепарабельно, К — максимальное подполе алгебры и сепарабельное расширение сепарабельного расширения снова сепарабельно, то всякое подполе алгебры чисто несепарабельно над Тогда в силу предыдущей леммы Поэтому, согласно следствию 13.1b, — строго максимальное подполе алгебры

В этой книге термин «расширение Галуа» употребляется только для обозначения конечных сепарабельных нормальных расширений полей. Бесконечные расширения Галуа возникнут лишь в нескольких упражнениях гл. 14. В силу стандартного результата теории Галуа расширение является расширением Галуа в том и только том случае, когда является полем разложения сепарабельного полинома из кольца Поэтому произвольное конечное сепарабельное расширение может быть вложено в расширение Галуа достаточно рассмотреть в качестве поле разложения сепарабельного полинома такого, что

Теорема. Пусть Тогда существует алгебра и ее строго максимальное подполе такие, что расширение Галуа.

Доказательство. Пусть где алгебра с делением. В силу предыдущего предложения обладает строго максимальным подполем К, являющимся сепарабельным расширением Пусть расширение Галуа и Так как поле К расщепляет алгебру в силу предложения 13.3, то таким же свойством обладает и Утверждение теоремы поэтому вытекает из теоремы 13.3.

Следствие. Группа Брауэра поля F является объединением подгрупп где пробегает все расширения

Галуа. Каждый элемент группы Брауэра имеет вид где - алгебра, содержащая в качестве строго максимального подполя, алгебра с таким свойством единственна с точностью до изоморфизма.

Утверждение о единственности алгебры А есть следствие предложения поскольку строгая максимальность подполя в алгебре А влечет за собой

Упражнения

(см. скан)