§ 3.3. Простые алгебры

Сам термин «полупростая алгебра» наводит на мысль о том, что полупростые алгебры должны быть обобщением простых, однако в действительности не все простые алгебры являются полупростыми) (см. упр. 1 и 5). В этом параграфе мы охарактеризуем те простые алгебры, которые являются полупростыми, и те полупростые, которые просты.

Алгебра называется простой, если и

Предложение а. Пусть А — простая алгебра. Тогда следующие условия эквивалентны,

(i) А полупроста

(ii) А является артиновой справа,

(iii) А обладает минимальным правым идеалом.

Доказательство. Согласно предложению 2.7, из (i) следует очевидно, влечет за собой Пусть минимальный правый идеал алгебры Тогда произведение является ненулевым идеалом в так что ибо алгебра проста. По лемме каждый ненулевой подмодуль вида является простым правым Л-мо-дулем. Следовательно, алгебра полупроста в силу предложения

Предложение Пусть А — полупростая алгебра. Тогда следующие условия эквивалентны:

(i) А проста,

(ii) все минимальные правые идеалы в А изоморфны,

(iii) все простые правые -модули изоморфны.

Доказательство. Согласно предложению каждый простой правый -модуль изоморфен минимальному правому идеалу алгебры так что условия эквивалентны. Предположим, что алгебра проста, и пусть ее минимальные правые идеалы. Тогда по тем же причинам, что и в доказательстве предложения а. Отсюда В частности, так что в силу предложения 3.2. Обратно, предположим, что все минимальные правые идеалы алгебры изоморфны, и пусть ненулевой идеал в Так как алгебра А полупроста, в ней существует минимальный правый идеал содержащийся в Тогда предположение об изоморфности всех минимальных правых идеалов вместе с предложениями 3.2 и 2.4 позволяет заключить, что Следовательно, алгебра проста.

Следствие а. Пусть А — простая алгебра и ее минимальный правый идеал. Если некоторый правый -модуль, то существует единственное кардинальное число а, такое, что

Это следствие непосредственно вытекает из предложений и предложения 2.5.

Следствие Пусть А — конечномерная простая F-алгебра, правые -модули. Тогда в том и только в том случае, если

Доказательство. Будучи конечномерной, алгебра является артиновой, а следовательно, в ней существует минимальный правый идеал размерность которого конечна. Согласно следствию для некоторых однозначно определенных кардинальных чисел Ясно, что в том и только том случае, если а так как то равенство эквивалентно тому, что

Пример. Пусть алгебра матриц размера с коэффициентами в некоторой алгебре с делением Для положим Тогда справедливы следующие утверждения:

(i) N является минимальным правым идеалом в

(iv) алгебра А является одновременно простой и полупростой (справа);

Доказательство. Очевидно, что является правым идеалом в А. Если где то Отсюда следует, что и А как -модуль совпадает с Если то для произвольных т. е. если то так что модуль прост в силу предложения 2.3. Кроме того, так что по предложению 3.2. Из утверждений и леммы 3.2 следует, что алгебра полупроста справа и ее минимальные правые идеалы изоморфны. Следовательно, согласно предложению проста. (Этот факт был доказан непосредственно в § 1.4.) Для левый сдвиг является эндоморфизмом -модуля и отображение определяет инъективный гомоморфизм Если так что то

для некоторого элемента Поэтому если а то т. е. Следовательно, а Ел

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)