§ 2.5. Строение полупростых модулей

По определению полупростой правый -модуль имеет «приятное» строение, а именно является прямой суммой простых модулей. Цель настоящего параграфа — установить единственность представления в виде прямой суммы. Нам понадобится несколько предварительных результатов.

Лемма а. Пусть простые правые -модули. Предположим, что простой правый -модуль, причем существует ненулевой гомоморфизм Тогда существует такой индекс что

Доказательство. Согласно лемме 2.4, существует такое подмножество что Следовательно, (ввиду леммы Шура и предположения о том, что Отсюда следует равенство что и доказывает лемму.

В оставшейся части этого параграфа зафиксируем множество представителей классов изоморфизма простых правых -модулей. Таким образом, непустое множество

индексов, каждый модуль является простым правым -модулем и любой простой правый -модуль изоморфен в точности одному из

Обозначение. Для правого -модуля обозначим через подмодуль

Лемма Если полупростой правый -модуль, то

Доказательство. Так как модуль полупрост, где Очевидно, что поэтому достаточно доказать, что Пусть Представим в виде и пусть — проекция, ассоциированная с данным разложением. Из леммы а следует, что т. е. Ввиду того что был произвольным подмодулем изоморфным это рассуждение доказывает требуемое включение

Лемма с. Пусть —полупростые правые -модули. Тогда для произвольного гомоморфизма имеем для всех

Доказательство. Если то по лемме Шура либо либо В обоих случаях Отсюда следует, что

Предложение. Пусть полупростые правые -модули. Предположим, что Тогда модули изоморфны в том и только том случае, если кардинальные числа равны для всех

Доказательство. Предположим, что изоморфизм. По лемме с для всех Зафиксируем Для доказательства того, что рассмотрим сначала случай конечного и используем индукцию. Если то так что Предположим, что Имеем где для всех По лемме а существует такой индекс что Значит,

По предположению индукции так что Это завершает индуктивное рассуждение. Если число конечно, то аналогичное рассуждение применимо к Следовательно, можно предположить, что оба кардинальных числа бесконечны. Согласно предложению 2.3, существуют разложения причем Изоморфизм индуцирует отображение из множества К в множество конечных подмножеств множества такое, что причем ввиду сюръективности Таким образом, так как множества бесконечны, имеем Симметричные рассуждения показывают, что Это завершает доказательство того, что из следует для всех Обратная импликация очевидна.

Упражнения

(см. скан)