§ 6.4. Идемпотенты

Элемент некоторой алгебры называется идемпотентом, если До сих пор мы использовали идемпотенты лишь в упражнениях, заменяя стандартные рассуждения с идемпотентами доказательствами, оперирующими с гомоморфизмами. Однако во многих ситуациях использование идемпотентов удобно и естественно, а польза от них при проведении конкретных вычислений несомненна.

Цель этого параграфа — дополнить изучение проективных модулей над артиновой алгеброй указаниями на ту роль, которую при этом играют идемпотенты. В трех последних параграфах этой главы будут даны некоторые применения идемпотентов. Они будут полезны и в ряде дальнейших рассуждений.

Предложение а. Правый идеал алгебры А является прямым слагаемым модуля в том и только том случае, если существует такой идемпотент что При этом если то существуют такие идемпотенты что при для всех В частности, модуль разложим тогда и только тогда, когда существует идемпотент для которого

Доказательство. Пусть идемпотентный элемент. Если то существуют такие элементы что Если то откуда

В частности, для всех Отсюда непосредственно следует, что Кроме того, Если такой идемпотент, что то Действительно, для всех наконец, если то Применяя эти рассуждения к случаю получаем первое утверждение предложения, что и завершает доказательство.

Идемпотент алгебры называется примитивным, если -модуль неразложим. Согласно предложению а, модуль проективен, поэтому идемпонтент артиновой справа алгебры примитивен в том и только том случае, если идеал является главным неразложимым модулем. Из предложения а непосредственно вытекает характеризация примитивных идемпотентов.

Следствие а. Идемпотент алгебры А примитивен в том и только том случае, если в А не существует такого идемпотента что

Этот критерий примитивности идемпотента эквивалентен определению, содержащемуся в упр. 3 к § 3.3: если где идемпотенты, причем то либо либо

Между идемпотентами и гомоморфизмами идеалов существует связь, которая проясняется при обобщении предложения 1.3.

Лемма. Пусть прямое слагаемое модуля некоторый правый -модуль. Тогда

Как и в § 1.3, символ используется для обозначения левого сдвига на элемент и, т. е. гомоморфизма из в задаваемого формулой Очевидно, Для доказательства обратного включения представим модуль в соответствии с предложением а в виде где Если то так что

Следствие Пусть -идемпотенты R-алгебры А. Тогда как R-модули и как R-алгебры. Если А артинова справа, то также артинова справа.

Доказательство. Согласно лемме, Ясно, что Если то Таким образом, отображение

является биекдией из Простое вычисление показывает, что это отображение — гомоморфизм модулей, а в случае изоморфизм алгебр. Если правый идеал в то а следовательно, ибо является единичным элементом алгебры Таким образом, отображение осуществляет вложение решетки правых идеалов алгебры В частности, если алгебра артинова справа, то алгебра также артинова справа.

Следствие с. Пусть идемпотент алгебры А. Положим Если правый -модуль, то следующие условия эквивалентны

Для нас наиболее важен тот частный случай этого следствия, когда являются главными неразложимыми правыми модулями над артиновой справа алгеброй

Следствие Пусть такие примитивные идемпотенты артиновой справа алгебры А, что модули неизоморфны. Тогда следующие условия эквивалентны.

Доказательство. Так как то условия очевидно, эквивалентны. Из предположения о том, что в силу предложения 6.3 следует, что а потому по лемме Шура В частности, если то Обратно, из условия согласно следствию вытекает, что

Программа обобщения структурной теоремы Веддербёрна на артиновы алгебры не проходит главным образом потому, что существуют неизоморфные главные неразложимые модули для которых Это явление заслуживает более пристального рассмотрения. Для прояснения дела мы сопоставим каждой артиновой алгебре некоторый специальный граф.

Определение. Пусть артинова справа алгебра. Предположим, что такие примитивные идемпотенты алгебры А, что правые идеалы

представляют различные классы изоморфизма главных неразложимых правых -модулей. Колчаном алгебры называется ориентированный граф множество вершин которого есть а множество ребер — это следуем Габриэлю [34], называя конечные ориентированные графы колчанами.)

Для простоты мы будем называть два колчана равными, если они всего лишь изоморфны, т. е. существует биекция между множествами их вершин, индуцирующая биекцию между множествами их ребер. Природа объектов, подразумеваемых под вершинами графа не имеет значения. Удобно использовать в качестве вершин примитивные идемпотенты, однако способа для их канонического выбора не существует. Впрочем, обычно их можно выбирать как угодно.

Предложение Граф не зависит от того, какие примитивные идемпотенты выбраны в качестве множества вершин. Кроме того, если то

Доказательство. Суть первого утверждения состоит в том, что если примитивные идемпотенты, такие, что то соотношения равносильны. Из того, что -модули изоморфны, очевидно, следует, что также изоморфны, поэтому

Таким образом, требуемый результат вытекает из следствия с. Второе утверждение предложения вытекает из первого с учетом нашего соглашения об отождествлении изоморфных колчанов.

Грубо говоря, колчан служит мерой сложности алгебры Если полупроста, то, очевидно, колчан, не имеющий ребер. Обратное утверждение также имеет место (см. упр. 4). Если множество вершин одноточечно, то алгебра проста в силу предложения 3.3b. Такая алгебра называется примарной. Строение примарных артиновых алгебр будет изучаться в следующем параграфе. Множество ребер колчана, отвечающего коммутативной артиновой алгебре, имеет простой вид, а именно состоит из петель таких, что В соответствии с этим просто и строение коммутативных артиновых алгебр.

Упражнения

(см. скан)