§ 2.3. Простые модули

Определение. Правый или левый модуль называется простым, если он ненулевой и не имеет подмодулей, отличных от и Модуль называется полупростым, если он является прямой суммой простых модулей.

В литературе по теории колец простые модули часто называются неприводимыми, а полупростые — вполне приводимыми. По-видимому, в настоящее время проявляется тенденция перехода к прилагательным «простой» и «полупростой». Мы будем ей следовать.

Правый идеал алгебры А, очевидно, является простым -модулем в том и только том случае, когда он минимален, т. е. является минимальным элементом множества всех ненулевых правых идеалов алгебры А. Разумеется, нет никакой гарантии того, что А вообще обладает минимальными правыми идеалами. Нет их, например, в кольце целых чисел. С другой стороны, из предположения о том, что А обладает единичным элементом, отличным от нуля, выводится (путем рассуждений, использующих лемму Цорна) существование по крайней мере одного максимального правого идеала, т. е. идеала, который максимален в множестве всех собственных правых идеалов алгебры А. Кроме того, если максимальный правый идеал алгебры А, то по теореме о соответствии фактормодуль является простым. Обратно, если модуль прост, то максимальный правый идеал.

Предложение. Пусть ненулевой правый -модуль. Тогда следующие условия эквивалентны:

(i) N прост

(ii) для всех ненулевых ;

(iii) для некоторого максимального правого идеала алгебры А.

Доказательство. Условие (i) влечет за собой ибо если то в силу простоты Обратно, так как то условие (ii) означает, что является единственным ненулевым подмодулем модуля т. е. прост. Как мы отметили выше, тот факт, что (iii) влечет за собой следует из теоремы о соответствии. Чтобы доказать, что из (ii) вытекает возьмем произвольный ненулевой элемент и из В соответствии с (ii) отображение является сюръективным гомоморфизмом модуля в модуль ядро которого есть правый идеал алгебры А. Из импликации следует, что модуль прост. Поэтому максимальный правый идеал алгебры

Лемма Шура. Пусть правые -модули и ненулевой гомоморфизм. Тогда

(i) если модуль прост, то инъективен

(ii) если модуль прост, то сюръективен.

Доказательство. Так как то Следовательно, простота влечет за собой равенство а простота равенство

Следствие а. Если -модули просты, то либо либо Нотл

Это следствие непосредственно вытекает из леммы Шура, ибо биективный гомоморфизм является изоморфизмом.

Правый -модуль называется неразложимым, если не представим в виде прямой суммы ненулевых подмодулей, т. е. из равенства вытекает, что либо либо Неразложимые модули играют весьма важную роль в теории алгебр. Они будут нам часто встречаться в последующих главах.

Следствие Пусть полупростой модуль. Тогда следующие условия эквивалентны:

(i) N прост

(ii) является алгеброй с делением,

(iii) N неразложим.

Доказательство. Если модуль прост, то по лемме Шура каждый его ненулевой эндоморфизм обладает обратным, т. е.

алгебра эндоморфизмов Ел является алгеброй с делением. Если алгебра с делением, то так что Кроме того, для любого разложения в прямую сумму существует такой элемент что а именно, я — это проекция модуля на слагаемое ассоциированная с данным разложением. Следовательно, Из предположения о том, что -алгебра с делением, вытекает, что либо либо Тогда соответственно либо либо Наконец, из (iii) следует ибо предположения о том, что модуль неразложим и полупрост (т. е. является прямой суммой простых модулей) в совокупности означают, что прост.

Под «леммой Шура» часто подразумевают утверждение следствия о том, что если модуль прост, то алгебра эндоморфизмов Ел является алгеброй с делением. Мы, однако, будем вкладывать в этот термин более широкое содержание, называя «леммой Шура» и саму лемму, и оба следствия из нее. Такая вольность в терминологии не должна привести к недоразумению.

Упражнения

(см. скан)