ГЛАВА 7. Алгебры конечного типа

Конечно порожденные правые модули над артиновой справа алгеброй представимы в виде прямой суммы неразложимых модулей, причем, согласно теореме Крулля — Шмидта, такое представление единственно. Поэтому для дальнейшего развития теории -модулей необходимо уделить пристальное внимание неразложимым модулям. В настоящее время такие модули являются предметом активных исследований. Цель двух последующих глав — познакомить читателя с двумя направлениями, интенсивно разрабатываемыми математиками, работающими в теории модулей.

На протяжении этой главы без специальных оговорок предполагается, что А — артинова справа алгебра (исключение составляет пример 7.1а). Все рассматриваемые -модули являются конечно порожденными и, следовательно, артиковыми и нё-теровыми.

§ 7.1. Гипотезы Брауэра — Тролла

Удобно ввести следующие обозначения, которые будут постоянно использоваться в этой главе. Класс всех конечно порожденных -модулей обозначим через а его подкласс, состоящий из неразложимых модулей — через Для любого натурального числа положим Для упрощения рассуждений этого параграфа полезно ввести обозначения для кардинальных чисел классов изоморфизма модулей из и соответственно. Таким образом, есть число классов изоморфизма простых -модулей, так что

Естественно задать вопрос, какие последовательности могут получаться для различных артиновых алгебр. Ответ на этот вопрос пока еще не получен, однако за последние годы было установлено несколько важных свойств таких последовательностей. Приблизительно в 1950 г., по-видимому, Брауэром и Троллом были сформулированы две гипотезы. Их первое упоминание в литературе содержится в статье Джанса [50].

Первая гипотеза Брауэра — Тролла. Если число бесконечно, то для бесконечно многих значений

Вторая гипотеза Брауэра — Тролла. Если число бесконечно, то бесконечно для бесконечно многих значений при условии, что центр бесконечен.

Первая гипотеза была доказана А. В. Ройтером для конечномерных -алгебр в 1968 г. (см. [68]). В 1974 г. Ауслендер дал другое доказательство, применимое к артиновым алгебрам. Вторая гипотеза Брауэра — Тролла была доказана для конечномерных алгебр над алгебраически замкнутым полем в 1974 г. Л. А. Назаровой и А. В. Ройтером в [59]. Их результат был обобщен на произвольные конечномерные алгебры Рингелем. Однако работа Рингеля до сих пор не опубликована. Большая часть этой главы посвящена доказательству первой гипотезы Брауэра — Тролла. Мы не будем касаться второй гипотезы; существующие доказательства этого результата являются слишком длинными и, видимо, не обрели еще окончательного вида. В оставшейся части этого параграфа мы приведем примеры алгебр конечного и бесконечного типа.

Пример а. Если А — коммутативная область главных идеалов, то любой конечно порожденный -модуль единственным образом разлагается в прямую сумму циклических -модулей вида где либо равно 0, либо является неприводимым элементом. Таким образом, является классом модулей, которые изоморфны где неприводимый элемент. В частности, если кольцо локально и не является полем, то для всех Естественно, в этом случае кольцо не может быть артиновым.

Пример Пусть циклическая группа порядка где простое число и Положим где поле характеристики Отображение определенное условием является сюръективным гомоморфизмом алгебр, ядро которого совпадает с главным идеалом, порожденным ментом Таким образом, любой конечно порожденный неразложимый -модуль одновременно является конечно порожденным неразложимым -модулем, таким, что (см. предложение 2.1). Из примера а вытекает, что классы изоморфизма в допускают в качестве представителей циклические модули Таким образом,

для всех В частности, алгебра конечного типа.

Пример с. Пусть произведение двух циклических групп простого порядка т. е. Положим где поле характеристики В упр. 2 к § 4.8 дан набросок доказательства того факта, что решетка идеалов не является дистрибутивной. Поэтому в силу теоремы 6.7 А — алгебра бесконечного типа. Другое доказательство этого факта намечено в упр. 2.

Алгебры в примерах и с являются групповыми. Удовлетворительное описание групповых алгебр конечного типа было получено Хигманом: если поле простой характеристики конечная группа, то групповая алгебра имеет конечный тип в том и только том случае, когда силовская -подгруппа группы циклическая. Доказательство теоремы Хигмана использует идеи, с которыми мы познакомим читателя в гл. 9 и 10. При этом общий случай сводится к -группам, для которых этот результат в свою очередь следует из примеров что мы сейчас и покажем.

Хорошо известно, что если конечная -группа, ее собственная подгруппа, то Из этого результата вытекает, что всегда существует нормальная в подгруппа индекса содержащая В самом деле, легко проверить, что любая максимальная собственная подгруппа содержащая удовлетворяет требуемым условиям.

Лемма. Пусть конечная -группа и поле характеристики Тогда если группа циклическая, то групповая алгебра имеет конечный тип. В противном случае алгебра бесконечного типа.

Доказательство. Первое утверждение уже было доказано в примере Предположим, что группа не является циклической. Покажем, что существует такая нормальная подгруппа что Согласно сделанному выше замечанию, найдется такая нормальная подгруппа что Пусть . Так как группа не является циклической, то существует нормальная подгруппа содержащая х и такая, что Положим Поскольку то является собственной подгруппой в так что индекс не меньше С другой стороны, отображение является гомоморфизмом группы в группу ядром которого служит Таким образом,

поэтому В частности, существует сюръективный гомоморфизм Согласно предложению 1.2, гомоморфизм продолжается до сюръективного гомоморфизма алгебры в алгебру Рассуждения в § 2.1 показывают, что любой неразложимый -модуль можно рассматривать как -модуль, который при этом остается неразложимым. Таким образом, в соответствии с примером с алгебра бесконечного типа.

Упражнения

(см. скан)