§ 1.4. Матричные алгебры

Пусть некоторая -алгебра и натуральное число. Обозначим через множество всех -матриц с элементами из Тогда это множество само является -алгеброй относительно обычных операций сложения и умножения матриц и операции скалярного умножения матриц на элементы из Мы не будем воспроизводить здесь хорошо известные определения этих операций. Интересно, однако, отметить, что алгебра может быть построена при помощи процедуры, обобщающей данное в § 1.2 определение сверточной алгебры (см. упр. 1.2). Алгебра называется -матричной алгеброй над

Обычно мы будем обозначать матрицы (не обязательно квадратные) строчными греческими буквами. В частности, через или будет обозначаться единичная матрица размера Кроме того, при рассмотрении алгебры для фиксированных через будут обозначаться матричные единицы, т. е. -матрицы, у которых на пересечении строки и столбца стоит единичный элемент лагебры а остальные позиции заполнены нулями. Легко видеть, что матричные

единицы перемножаются следующим образом:

Иногда бывает необходимо описать матрицу с помощью ее элементов. В этом случае мы используем такие обозначения, как

Обычно элементы матриц обозначаются буквами с двумя индексами, первый из которых указывает строку, а второй — столбец, в которых стоит этот элемент.

Если алгебра некоммутативна, то не является -алгеброй. Тем не менее полезно ввести умножение матриц справа и слева на элементы из А. Если

— некоторая -матрица с элементами из алгебры то полагаем

Эти операции задают на множестве всех -матриц с элементами из А структуру -бимодуля. В частности, алгебра является свободным -модулем с базисом, состоящим из матричных единиц:

причем такое представление единственно.

Кроме закона ассоциативности, выполняющегося в произвольном бимодуле, матричные алгебры удовлетворяют еще и такому соотношению:

С абстрактной точки зрения матричные алгебры являются частным случаем алгебр эндоморфизмов. Действительно, как мы позднее покажем (следствие где свободный правый -модуль с образующими. Следовательно,

матричную алгебру всегда можно заменить алгеброй эндоморфизмов. Однако во многих ситуациях матрицы могут эффективно использоваться для вычислений, не связанных непосредственно с эндоморфизмами.

Матричные алгебры над алгебрами с делением играют важную роль в общей теории алгебр над полями. Мы завершим этот параграф результатом, который позднее войдет в фундаментальную структурную теорему Веддербёрна.

Лемма. Если алгебра с делением, то алгебра проста для всех

Доказательство. Пусть ненулевой идеал в Требуется показать, что если то а Так как то в существует ненулевая матрица где, скажем, Согласно соотношениям (1) и (2),

ибо двусторонний идеал в

Упражнение

(см. скан)