§ 1.2. Групповые алгебры

Изучение ассоциативных алгебр отчасти стимулировалось теорией представлений групп. Связь между этими областями базируется на понятии групповой алгебры. Групповая алгебра над это свободный R-модуль, базис которого состоит из всех элементов группы снабженный умножением, индуцированным умножением в Полезно обобщить эту конструкцию на тот случай, когда является моноидом, т. е. множеством с ассоциативным умножением, обладающим единичным элементом относительно этого умножения.

Определение. Пусть моноид и — коммутативное кольцо с единицей. Положим

Определим в сложение и умножение на скаляры покомпонентно:

В качестве умножения в примем свертку

где суммирование производится по конечному множеству пар таких, что

Основной результат этого параграфа состоит в том, что является R-алгеброй, которая называется сверточной алгеброй моноида или групповой алгеброй группы (если группа) над кольцом Тождества, входящие в определение R-алгебры, можно доказать для прямым вычислением, однако небольшое ухищрение позволит нам сократить их проверку и даст дополнительную информацию. Заметим сначала, что множество замкнуто относительно сложения и умножения на скаляры, причем эти операции удовлетворяют тождествам из определения модуля. Стандартным образом проверяется также, что умножение билинейно. Более тонкие свойства ассоциативности и существования единицы являются

отражением соответствующих свойств моноида Чтобы убедиться в этом, определим для каждого функцию условиями если Ясно, что если то суммирование производится по всем таким, что Отсюда следует, что является свободным -модулем с базисом Кроме того,

В самом деле, если или Таким образом, если Из (1) и следующей леммы вытекает, что является единицей в и ассоциативно.

Лемма. Пусть А — некоторый R-модуль, на котором определена бинарная билинейная операция , т. е. А — неассоциативная R-алгебра. Предположим, что подмножество, которое порождает А как R-модуль, и для всех Тогда умножение в А удовлетворяет закону ассоциативности. Кроме того, если существует элемент такой, что для всех то является единицей в А.

Доказательство. Так как произвольных элемента из А можно записать в виде где Ввиду билинейности умножения и законов коммутативности и ассоциативности для умножения на скаляры мы имеем

Доказательство того, что -единичный элемент, проводится по аналогичной схеме.

В соответствии с (1) отображение является гомоморфизмом моноидов, причем, очевидно, инъективным. Удобно отождествлять элемент х с соответствующей функцией что мы обычно и будем делать. Это позволит нам упростить обозначения и записывать элементы из в виде линейных комбинаций где а суммирование распространяется на некоторое конечное подмножество из С точностью до порядка слагаемых и нулевых слагаемых такое представление единственно.

Предложение. является R-алгеброй для произвольного моноида Это свободный R-модуль с базисом Если А — некоторая R-алгебра и ср: -гомоморфизм моноида в мультипликативный моноидалгебры А, то единственным образом продолжается до гомоморфизма

Доказательство. Только последнее утверждение нуждается в доказательстве. Любое продолжение гомоморфизма должно быть гомоморфизмом R-модулей и, следовательно, должно удовлетворять условию

Так как является базисом в формула (2) действительно определяет продолжение до гомоморфизма модулей. Используя дистрибутивность и предположение о том, что легко проверить, что (2) является кольцевым гомоморфизмом.

Пример. Пусть X — множество символов. Свободный моноид над X — это множество всех конечных последовательностей из элементов множества X, включая пустую последовательность. Умножение в определяется соединением последов ательностей:

Таким образом, пустая последовательность является единичным элементов в Ясно, что любое отображение множества X в моноид обладает единственным продолжением до гомоморфизма моноидов Таким образом, любое отображение множества X в -алгебру А однозначно продолжается до гомоморфизма -алгебр т. е. является свободной -алгеброй над множеством Как обычно, будем обозначать через (или через если X состоит из различных символов Элементы алгебры можно воспринимать как полиномы от некоммутирующих символов из X с коэффициентами из

Обычное (коммутативное) кольцо полиномов можно получить при помощи аналогичной конструкции: если свободный коммутативный моноид над X, то Если X состоит из различных символов то алгебру мы, как обычно, будем обозначать через Если то алгебры и совпадают с алгеброй полиномов от одной переменной.

Упражнение

(см. скан)