§ 6.3. Структура проективных модулей

Результаты последнего параграфа позволяют получить классификацию проективных модулей над артиновыми алгебрами и теоремы об их строении. Во всем этом параграфе обозначает артинову справа -алгебру, а некоторый правый Л-мо-дуль, предполагаемый обычно проективным.

Неразложимые прямые слагаемые модуля называются главными неразложимыми правыми -модулями. Следует подчеркнуть, что главный неразложимый правый -модуль одновременно является правым идеалом в и проективным модулем.

Лемма. Прямое слагаемое модуля является неразложимым в том и только том случае, когда -модуль прост.

Доказательство. Так как то из артиновости вытекает артиновость и нётеровость Согласно следствию 5.3, модуль неразложим тогда и только тогда, когда алгебра локальна, т. е. Ел (Ел -алгебра с делением. Поэтому лемма вытекает из предложения 6.2 и следствия (леммы Шура). Действительно, алгебра

является алгеброй с делением в том и только том случае, когда модуль прост. (Отметим, что модуль полупрост, так как он является -модулем.)

Предложение. Пусть А — артинова справа алгебра. Тогда отображение определяет биективное соответствие между классами изоморфизма главных неразложимых правых -модулей и классами изоморфизма простых правых -модулей.

Доказательство. Если главный неразложимый правый -модуль, то по лемме -модуль прост. Далее, из следствия 6.2 вытекает, что в том и только том случае, когда Следовательно, отображение

индуцирует инъективное отображение множества классов изоморфизма главных неразложимых модулей в множество простых модулей. Осталось установить его сюръективность. Пусть разложение в прямую сумму главных неразложимых модулей. Тогда разлагается в прямую сумму модулей которые по лемме просты. В силу предложения и леммы 3.2d каждый класс изоморфизма простых правых -модулей имеет представителя среди

Структурная теорема. Пусть артинова справа алгебра. Тогда любой проективный правый -модуль изоморфен прямой сумме главных неразложимых правых -модулей. Такое разложение однозначно с точностью до изоморфизма и изменения порядка слагаемых.

Доказательство. Пусть проективный правый -модуль. Ввиду артиновости справа алгебры алгебра а следовательно, и модуль полупросты, так что где простые модули. Согласно предложению, существуют такие главные неразложимые модули что для всех Таким образом,

Поэтому из предложения 6.1а и следствия 6.2 вытекает изоморфизм что и требовалось. Для доказательства единственности предположим, что

где правые -модули являются главными неразложимыми. В силу этого предположения причем все модули просты. Согласно предложению 2.5, существует биекция такая, что Следовательно,

Следствие а. Пусть А — артинова справа алгебра. Тогда любой неразложимый проективный правый -модуль изоморфен главному неразложимому правому -модулю.

В частности, неразложимые проективные -модули цикличны.

Следствие Пусть А — артинова справа алгебра и неразложимый проективный правый -модуль. Если собственный подмодуль, то

Доказательство. Если то ибо, согласно предыдущей лемме, модуль прост. Как было замечено выше, модуль конечно порожден, поэтому по лемме Накаямы.

Упражнения

(см. скан)