§ 7.2. Алгебры ограниченного типа
Предложение этого параграфа обобщает характеризацию неразложимых модулей, приведенную в следствии 5.3. Этот факт, на котором будет построено доказательство первой гипотезы
Брауэра — Тролла, получается путем элементарной индукции, использующей следствие 2.6, согласно которому, если 
точная последовательность модулей в 
то 
Лемма а. Пусть 
гомоморфизмы модулей в 
Тогда имеют место следующие утверждения:
(i) 
, причем равенство имеет место только для сюръективных 
;
(ii) 
причем равенство имеет место только для инъективных;
(iii) 
, причем равенство справедливо тогда и только тогда, когда
(iv) 
, причем равенство справедливо тогда и только тогда, когда
Доказательство. Утверждения 
получаются применением следствия 2.6 к точным последовательностям
и
если при этом заметить, что лишь нулевой модуль имеет длину 0. Результат 
следует из утверждения 
примененного к гомоморфизму 
ибо условие 
эквивалентно равенству 
Аналогично, (iv) получается из 
примененного к гомоморфизму 
так как 
Лемма 
Пусть
— последовательность гомоморфизмов модулей из 
Предположим, что 
и выполняется одно из условий
(i) 
не является инъективным для 
(ii) 
не является сюръективным для 
Тогда если 
то 
Доказательство. Достаточно показать индукцией по 
что если 
то 
1. В случае 
заметим, что по лемме а имеем 
если гомоморфизм 
не является инъективным, и 
если 
не является
сюръективным. В любом случае 
Предположим, что 
и предположение индукции выполняется для композиции 
гомоморфизмов. Положим 
Таким образом, имеется последовательность из двух гомоморфизмов 
причем 
по предположению индукции. Для завершения индукционного перехода надо показать, что 
Предположим противное, т. е. что 
Из леммы а тогда следует, что 
так что 
Вспоминая, что модуль 
есть 
следовательно, неразложим, а 
получаем, что 
В частности, гомоморфизм 
сюръективен, а гомоморфизм 
инъективен. Но это противоречит предположению о том, что либо 
для всех 
либо 
Для всех 
Тем самым индукция завершена. 
Предложение. Пусть
— последовательность гомоморфизмов модулей из 
Предположим, что 
и ни один из гомоморфизмов не является изоморфизмом. Тогда если 
то 
Доказательство. Пусть 
не является инъективным} 
не является сюръективным}. Предположение о том, что ни один из 
не является изоморфизмом, позволяет заключить, что 
Тогда либо 
либо 
так что существует последовательность 
длины такая, что выполняется одно из следующих условий:
В первом случае положим
условившись, что 
Если же выполняется второе условие, то положим
При этом ни один из гомоморфизмов 0,- не является инъективным (соответственно сюръективным). По лемме 
имеем 
Но тогда 
ибо 
«делит» 
если 
для всех 
и что алгебра А имеет ограниченный тип, если ее тип ограничен некоторым числом 
Если А — алгебра конечного типа, то очевидно, что она имеет ограниченный тип; обратное утверждение составляет первую гипотезу Брауэра — Тролла.
и если
, что 
не является изоморфизмом для всех 
то из 
следует, что 
