§ 15.2. Построение циклических алгебр при помощи инфляции

Основной результат этого параграфа показывает, как с помощью инфляции можно получить из центральной простой алгебры, индекс которой больше 1, алгебру, эквивалентную циклической алгебре с делением простого индекса. Этот прием часто бывает полезным при индуктивных доказательствах. Наиболее важное его приложение содержится в гл. 18. В этом параграфе мы применим его для описания полей, конечные сепарабельные расширения которых имеют тривиальные группы Брауэра. Другое приложение состоит в улучшении утверждения (ii) предложения

Начнем с обобщения леммы

Лемма. Пусть алгебра индекса где простое число, не делит Тогда существует натуральное число не делящееся на и башня полей с Ко, такая, что:

(i) - сепарабельное расширение степени

(ii) циклично при

(iii) для в частности, поле Ко расщепляет алгебру А.

Доказательство. Если заменить алгебру А на алгебру где поле, построенное в доказательстве леммы то доказательство сводится к случаю Предположим, следовательно, что В силу предложения 13.5 существует сепарабельное расширение расщепляющее алгебру и

такое, что Погрузим поле К в расширение Галуа Пусть где взаимно просто с Обозначим через силовую -подгруппу группы а через поле неподвижных элементов относительно группы Поскольку то Если то Так как группа является -группой, то существует цепочка подгрупп такая, что нормальная подгруппа в и при группа циклическая порядка Обозначим через поле неподвижных элементов относительно группы Тогда в башне полей расширение Галуа с циклической группой Галуа порядка Таким образом, Так как поле расщепляет алгебру то из предложения 13.4 следует, что индекс делит По индукции получаем, что при

Предложение. Пусть -алгебра индекса где простое число, взаимно просто с Тогда существует сепарабельное расширение такое, что взаимно просто с где циклическая алгебра с делением степени

Доказательство. Положим где поле обладает свойствами, перечисленными в лемме. Пусть -алгебра с делением, такая, что Тогда циклическое расширение степени и Ко расщепляет алгебру Ввиду следствия 13.3 алгебра содержит строго максимальное подполе, изоморфное полю Ко как -алгебра. Следовательно, алгебра циклична.

Важное применение этого предложения связано с вычислением индекса тензорных произведений.

Следствие а. Если алгебра имеет индекс то делит

Доказательство. Можно предполагать, что Пусть поле К определено, как в предыдущем предложении. Тогда Следовательно, что делит Поскольку делит также и в силу предложения 13.4, то следствие доказано.

Второе следствие описывает когомологически тривиальные поля. Оно легко вытекает из предыдущего предложения и предложения 15.lb.

Следствие b. Пусть поле. Тогда следующие условия эквивалентны.

(i) для всех конечных сепарабельных расширений

(ii) если конечное сепарабельное расширение и циклично, то

Упражнение

(см. скан)