§ 11.3. Лемма о змее

Пусть

коммутативная диаграмма гомоморфизмов модулей с точными строками. Тогда существуют такие гомоморфизмы модулей последовательность

точна. Если инъективен, то также инъективен; если сюръективен, то также сюръективен.

Свое название лемма о змее получила благодаря следующей диаграмме, иллюстрирующей этот результат;

Отображения гомоморфизмы включения, а гомоморфизмы проекции. Наша цель — доказать существование гомоморфизмов превращающих последовательность (2) в точную, а диаграмму коммутативную. Требование коммутативности выполняется тогда и только тогда, когда для Гомоморфизмы можно определить таким образом, ибо

ввиду коммутативности (1). Точность последовательности (2) в членах выводится из точности и коммутативности диаграммы (1) путем обычного диаграммного поиска. Например,

Аналогично, Из определения и коммутативности диаграммы (3) вытекает, что если инъективен, то и три инъективен; если сюръективен, то и сюръективен. Оставшаяся часть доказательства посвящена построению гомоморфизма превращающего последовательность (2) в точную. Чтобы упростить наши построения, сделаем небольшое отступление. Пусть имеется коммутативный квадрат гомоморфизмов модулей

Положим

Лемма. Пусть

— коммутативная диаграмма с точными строками. Тогда

Доказательство. Для имеем тогда и только тогда, когда кроме того, тогда и только тогда, когда Таким образом, индуцирует изоморфизм между

Для завершения доказательства леммы о змее дополним диаграмму (3) модулями

Из леммы получаем Композиция и дает искомый гомоморфизм

Теперь мы в состоянии доказать существование длинной точной последовательности, описанной в § 11.2. По предположению алгебра является проективным -модулем. Из предложения 9.1а легко вытекает, что модуль также проективен. Следовательно, ввиду точности последовательности последовательность

также точна. Как мы заметили в § 11.1, последнее означает точность последовательности . Из леммы 11.1 вытекает, что диаграмма

коммутативна и имеет точные строки. Применяя к этой диаграмме лемму о змее (и учитывая, что получаем, что для всех последовательности и

гомоморфизмы в которых индуцируются точны. Ввиду того что кограничный гомоморфизм индуцирует гомоморфизм по правилу Ясно, что Используя можно построить следующую диаграмму с точными строками, которая, как легко видеть, коммутативна:

Применяя к этой диаграмме лемму о змее, получаем связывающий гомоморфизм для которого последовательность

точна. Стандартная проверка показывает, что гомоморфизмы и доставляемые леммой о змее, совпадают с гомоморфизмами модулей когомологий, которые строятся исходя из в предложении 11.1. Таким образом, можно соединить эти конечные последовательности и получить всю длинную точную последовательность, за исключением начального отрезка Но, ввиду того что гомоморфизм инъективен. Доказательство теоремы о длинной точной последовательности завершено.

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)