§ 16.4. Трансвекции и дилатадии

Если алгебра с делением и то приведенная норма является аналогом определителя. В этой и следующей главах мы построим определитель для матриц над

алгеброй с делением, который имеет большее сходство с обычным определителем, чем норма.

Различие между приведенной нормой и определителем в значительной степени измеряется приведенной группой Уайтхеда и коядром нормы.

В дальнейшем обозначает алгебру с делением над полем которая не обязательно конечномерна. Обозначим через Таким образом, это группа обратимых -матриц с элементами из В этом параграфе мы неявно предполагаем, что большинство утверждений, имеющих смысл в случае очевидны.

Полезно ввести специальные обозначения для двух классов -матриц. Пусть положим для если Если необходимо, мы будем писать вместо Гц Матрицы играют особую роль в наших рассуждениях; удобно применять для них сокращение

Элементы принадлежат группе Действительно, так как В частности,

Матрицы называются трансвекциями, а -дилатациями. Существуют геометрические определения трансвекций и дилатаций, в которых этим терминам придается более широкое содержание, но это никак не связано с нашими рассмотрениями.

Лемма а. Если то трансвекции принадлежат коммутанту группы

Доказательство. Так как трансвекция имеет лишь один недиагональный ненулевой элемент, то достаточно доказать лемму в случае Пусть Такой элемент существует, поскольку Положим Стандартное вычисление показывает, что где Аналогично, поскольку группа замкнута относительно транспонирования.

Обозначим через подгруппу группы порожденную множеством В следующем параграфе мы увидим, что группа является коммутантом группы Поскольку то каждый элемент из является произведением трансвекций.

Для элементов при положим , если принадлежат одному и тому же правому смежному классу по подгруппе т. е. при некотором Ясно, что отношение эквивалентности на группе

Отношение имеет хорошо известное описание:

В самом деле, если то Ъцхуц где если т. е. матрица получена из а с помощью прибавления к строке строки, умноженной слева на элемент

Лемма Если то для некоторого элемента

Матрица а преобразуется в матрицу вида методом Гаусса с помощью элементарных преобразований строк первого типа. Таким образом, в силу Детали этого процесса содержатся в упр. 1.

Следствие а. Н — нормальная подгруппа группы В частности, из следует, что

Доказательство. Если то Таким образом, в силу леммы Кроме того, из где следует, что

Лемма с. Если то В частности, для всех

Доказательство. Применение индукции по показывает, что достаточно доказать, что Кроме того, можно

считать, что и (ввиду утверждения В силу (2)

Следствие Если то при некоторых

В силу леммы существует элемент такой, что. Поэтому ввиду следствия а и леммы с

Это следствие позволяет доказать важный аналог следствия где меняются ролями.

Предложение. Пусть конечное расширение Пусть Тогда если гомоморфизм F-алгебр, то для некоторого натурального числа для всех элементов

Доказательство. Поскольку алгебра А проста, мы можем предположить, что гомоморфизм вложения. В этом случае подполе алгебры По теореме о двойном централизаторе и следствию Зафиксируем элемент Если то по лемме Следовательно, равенство влечет за собой равенство Предположим, что т. е. По структурной теореме Веддербёрна где алгебра с делением из класса Для удобства обозначений можно предполагать, что Из предположения в силу следствия вытекает, что при некоторых и ввиду следствия пусть Так как конечномерная алгебра с делением над полем то поле К — конечное расширение поля Пусть Тогда в силу предложения 16.2а. Следовательно, Чтобы доказать соотношение можно снова воспользоваться способов, примененным в конце доказательства предложения 16.2а. Детали этого рассуждения составляют содержание упр. 2.

Следствие с. Пусть выполнены условия предложения. Тогда гомоморфизм индуцирует гомоморфизмы групп и такие, что диаграмма

коммутативна, где

Следствие выводится из предыдущего предложения при помощи рассуждений, которые использовались для вывода предложения 16.3b из следствия 16.1b.

Упражнения

(см. скан)