§ 4.2. Лемма Накаямы

Под названием «лемма Накаямы» известно несколько эквивалентных утверждений. Этот параграф содержит два наиболее распространенных варианта этого фундаментального результата теории колец.

Радикал модуля является аналогом подгруппы Фраттини в теории групп, а лемма Накаямы является одной из форм

стандартной характеризадии подгруппы Фраттини. Связь между этими вопросами ясна из следующей леммы.

Лемма. Пусть и — элемент -модуля Тогда следующие условия эквивалентны:

(ii) если такой подмодуль в что то

Доказательство. Если то существует такой подмодуль что фактормодуль прост Тогда Следовательно, условие (i) является следствием Обратно, предположим, что существует подмодуль обладающий свойством Очевидно, что и По лемме Цорна существует подмодуль модуля содержащий и максимальный среди тех подмодулей, которые не содержат и. Если то так что Отсюда следует, что модуль прост, следовательно, и

Лемма Накаямы для модулей. Пусть подмодуль -модуля Предположим, что удовлетворяет следующему условию:

Тогда Обратно, если причем хотя бы один из -модулей или конечно порожден, то удовлетворяет (1).

Доказательство. Предположим, что найдется элемент и Согласно предыдущей лемме, существует такой подмодуль что Для доказательства обратного утверждения предположим, что такой подмодуль, что Если модуль конечно порожден, то существует конечно порожденный подмодуль для которого Таким образом, в любом случае можно предполагать, что модуль конечно порожден, скажем Тогда, использовав лемму несколько раз, мы придем к нужному утверждению:

Лемма Накаямы для алгебр. Пусть правый идеал R-алгебры. А. Тогда следующие условия эквивалентны:

(ii) если конечно порожденный правый -модуль, а подмодуль удовлетворяет условию то

(iii) множество содержится в

Доказательство. Свойство (ii) следует из (i) ввиду леммы Накаямы для модулей и следствия Для того чтобы вывести условие (iii) из рассмотрим произвольный элемент и положим Имеем так что Так как порождается одним элементом 1, то из (ii) вытекает, что В частности, для некоторого Следовательно, ибо Эти рассуждения показывают, что любой элемент из имеет в правый обратный. Значит, группа и Для того чтобы вывести условие (i) из возьмем произвольный элемент В силу леммы достаточно показать, что правый идеал удовлетворяющий условию совпадает с Из условия следует, что для некоторых Тогда причем Согласно Следовательно, что и требовалось доказать.

Положив мы приходим к следствию, которое также часто называют леммой Накаямы.

Следствие. Пусть такой конечно порожденный правый -модуль, что Тогда

Упражнения

(см. скан)