ГЛАВА 1. Ассоциативные алгебры

В этой главе мы хотим привести несколько естественно возникающих примеров алгебр. Разъяснив некоторые понятия и обозначения, мы знакомим читателя с групповыми алгебрами, алгебрами эндоморфизмов, матричными алгебрами и алгебрами кватернионов. По ходу изложения мы сделаем небольшое отступление, содержащее краткие указания на связь между алгебраической геометрией и теорией конечномерных алгебр над полями.

§ 1.1. Соглашения

Всюду в этой книге буквой R обозначается коммутативное кольцо с единицей 1. Предметом нашего изучения являются -алгебры.

Определение. R-алгебра (или алгебра над это унитальный правый -модуль с заданным на нем билинейным отображением (обозначаемым через ), удовлетворяющим условию ассоциативности для всех х, у, z из А), причем в А имеется элемент со свойством для всех Он называется единичным элементом алгебры

Требование билинейности умножения эквивалентно выполнению законов дистрибутивности справа и слева вместе с условием

Любая -алгебра является кольцом с единицей. Обратно, если А — кольцо с единицей и одновременно правый -модуль, удовлетворяющий условию (1), то А является -алгеброй.

Произвольный -модуль А, снабженный билинейным отображением называется неассоциативной R-алгеброй. Иногда будет рассматриваться и этот более широкий класс алгебр.

Из билинейности умножения и тождеств в определении -модуля А вытекает, что отображение а является кольцевым гомоморфизмом из R в центр алгебры А. Обратно, если А — кольцо с единицей, то любой гомоморфизм из R в центр кольца А задает на А структуру -модуля, превращающую А в -алгебру. Это соображение приводит к другому определению -алгебр, которое иногда оказывается удобным. Если отображение инъективно, т. е. А является точным -модулем, то R можно отождествить с подкольцом центра алгебры А. После этого отождествления так что А становится левым -модулем. Структуру левого -модуля на А можно определить, если даже А не является точным -модулем, положив ибо кольцо R коммутативно.

Если на кольцо R не налагается никаких ограничений, то понятие -алгебры является очень общим. В самом деле, любое ассоциативное кольцо с единицей является алгеброй над В элементарной части теории алгебр кольцо скаляров R почти не играет роли. Именно так будет обстоять дело в первых семи главах этой книги. При рассмотрении элементарных аспектов нашего предмета можно без ущерба использовать термин «алгебра» вместо -алгебра». В действительности с таким же успехом можно было бы обойтись словом «кольцо».

Большие различия между теорией колец и теорией алгебр возникают, например, если в качестве кольца скаляров берется поле. В этом случае мы будем говорить -алгебрах. Буква F всегда будет обозначать (коммутативное) поле. Конечно, для обозначения полей могут использоваться и другие символы.

Любая -алгебра А является, в частности, векторным пространством над полем Поэтому структура алгебры А как -модуля задана, если указана ее размерность как пространства над Эта размерность будет обозначаться через или, если необходимо, через Строго говоря, может быть любым кардинальным числом, однако для наших целей нет нужды различать бесконечные кардиналы. Таким образом, есть либо натуральное число, либо

Ограничиваясь рассмотрением алгебр над полями, мы не только получаем возможность применять аппарат линейной алгебры — при этом ограничении теория во многих отношениях приобретает большую содержательность и большую простоту. Например, отображение вкладывает при условии, что А нетривиальна, (или, что эквивалентно, Следовательно, в нетривиальном случае F можно отождествить с подкольцом центра алгебры в частности, . (Даже для алгебр над кольцом R мы будем часто использовать символ 1 для обозначения как единицы кольца так и единицы алгебры при условии, что это не может привести к недоразумению.)

Класс всех -алгебр образует категорию, морфизмами в которой служат отображения, являющиеся одновременно модульными и кольцевыми гомоморфизмами, сохраняющими единицу. Такие отображения называются гомоморфизмами алгебр. Понятия «изоморфизм», «эндоморфизм» и «автоморфизм» для R-алгебр определяются стандартным образом. Как обычно, мы пишем если между существует изоморфизм. Отношение разумеется, является отношением эквивалентности. По старой алгебраической традиции термин «подалгебра» может иметь два значения; (i) подмножество в содержащее О и 1 и замкнутое относительно сложения, умножения и скалярных операций алгебры -алгебра В, являющаяся подможеством в такая, что отображение вложения множества есть гомоморфизм. Конечно, эти два определения подалгебры лишь подчеркивают разные аспекты одного и того же понятия. Произведения (или полные прямые суммы) в категории -алгебр имеют явное описание. Они получаются наделением декартова произведения соответствующих множеств операциями, определяемыми покомпонентно. Тогда проекции на компоненту являются гомоморфизмами алгебр, удовлетворяющими свойству универсальности, налагаемому на произведения в любой категории (см. [45], с. 53). Следуя классической традиции, мы будем обозначать произведение конечного множества алгебр так:

Если — гомоморфизм алгебр, то его ядро является (двусторонним) кольцевым идеалом и -подмодулем в Обратно, идеал кольца (это обозначается так: автоматически является -подмодулем, потому что для Отсюда следует,

что факторкольцо является -алгеброй, а естественное отображение гомоморфизмом алгебр с ядром Различные теоремы о гомоморфизмах для колец и модулей без изменений переносятся на -алгебры. Видимо, наиболее важной из этих теорем является критерий разложимости (справа): если гомоморфизмы -алгебр, причем сюръективен, то пропускается через для некоторого гомоморфизма тогда и только тогда, когда

Термин «идеал» (алгебры) будет обозначать двусторонний идеал. Когда речь будет идти о правых или левых идеалах, то прилагательное «правый» или «левый» обязательно будет присутствовать. Идеалы, а также правые и левые идеалы R-алгебры являются -подмодулями.

Определение модуля над алгеброй совпадает с определением унитального модуля над кольцом. Если есть -алгебра и правый -модуль, то наследует структуру -модуля: для а Аналогично, если левый -модуль, то он является также и левым -модулем. В частности, любой модуль над -алгеброй является векторным пространством, так что его аддитивная структура известна.

Если некоторые -алгебры, то -бимодуль — это алгебраическая система являющаяся одновременно левым -модулем и правым -модулем, причем

Позже мы увидим, что теорию -бимодулей можно свести к изучению модулей над тензорным произведением алгебры В и алгебры, противоположной к Часто, однако, удобнее работать непосредственно с бимодулями.

Для упрощения терминологии мы будем использовать выражение -бимодуль» вместо -бимодуль». Большинство бимодулей в этой книге являются бимодулями такого типа.

Упражнение

(см. скан)

(см. скан)