§ 18.6. Циклические алгебры над числовыми полями
Одним из замечательных следствий теоремы Алберта — Хассе — Брауэра — Нётер является утверждение о том, что всякая центральная простая алгебра над полем алгебраических чисел циклична. В этом параграфе мы получим этот результат, опираясь на глубокую теорему о существовании циклических расширений полей алгебраических чисел.
Теорема Грюнвальда — Нанта. Пусть 
поле алгебраических чисел. Предположим, что 
конечное множество пар, таких, что 
если нормирование 
комплексно, и 
если 
вещественно. Пусть 
наименьшее общее кратное чисел 
Если число 
делится на 
то существует циклическое расширение 
степени 
такое, что числа 
делят 
при 
Кроме того, если число 
является делителем 
то поле К можно выбрать так, чтобы расширения 
были неразветвлены для всех 
которые дискретны.
Мы не будем доказывать эту теорему. Она подробно рассмотрена в гл. 10 книги Артина и Тейта по теории полей классов [10]. Набросок доказательства более слабого утверждения содержится в упр. 3.
Теорема. Пусть 
поле алгебраических чисел и 
Тогда А — циклическая алгебра и 
Доказательство. Согласно предложению 18.5, множество нормирований 
поля 
таких, что 
конечно и не существует комплексных нормирований с таким свойством. Пусть 
все нормирования, для которых 
При 
положим 
Если нормирование 
вещественно, то 
Обозначим через 
наименьшее общее кратное чисел 
В соответствии с предложением 13.4 степень 
алгебры А делится на каждое 
следовательно, число 
делит 
В силу теоремы Грюнвальда — Ванга существуют циклические расширения 
степеней пят соответственно, такие, что числа 
являются делителями степеней 
при 
Поскольку, согласно следствию 17.10а, 
порядок элемента 
то из следствия 
вытекает, что поля 
расщепляют алгебру 
По построению 
так что поле К изоморфно строго максимальному подполю алгебры 
в соответствии со следствием 13.3. Следовательно, алгебра 
циклическая. Так как поле 
расщепляет алгебру 
то в силу предложения 
Если 
экспонента алгебры 
то 
т. е. 
для всех нормирований 
Следовательно, 
для 
что эквивалентно тому, что 
В частности, 
Обратное неравенство в силу предложения 
имеет место для центральных простых алгебр над произвольным полем. 
Из доказательства этой теоремы вытекает явная формула для индекса:
Следствие. Пусть 
поле алгебраических чисел и 
Тогда индекс алгебры А равен наименьшему общему кратному локальных индексов 
алгебры А.
Упражнения
(см. скан)
