§ 19.2. Квазиалгебраически замкнутые поля

Поле F называется квазиалгебраически замкнутым (сокращенно к. если всякая форма от переменных, степень которой удовлетворяет неравенству имеет в нетривиальный нуль. В теории полей часто используется также термин «Срполе». Наш интерес к к. а. з. полям связан со следующим утверждением, вытекающим из следствия 19.1.

Теорема. Если квазиалгебраически замкнутое поле, то

Доказательство. Если А -алгебра степени то форма степени от переменных. Так как квазиалгебраически замкнутое поле, то форма имеет нетривиальный нуль и, следовательно, А не является алгеброй с делением ввиду следствия 19.1. Отсюда следует, что

Ясно, что алгебраически замкнутое поле является к. а. з. полем. К. а. з. полями являются также все конечные поля, набросок доказательства этого факта приведен в упр. 2. Теорема Тзена утверждает, что если поле F алгебраически замкнуто, то каждое алгебраическое расширение поля является к. а.з. полем. С помощью этого результата и некоторых сведений из алгебраической геометрии можно доказать, что поле формальных рядов Лорана — к. а.з. поле. Короче, к. а.з. поля встречаются довольно часто.

Оставшаяся часть параграфа посвящена доказательству замкнутости класса к. а. з. полей относительно алгебраических расширений. Оно использует новое понятие. Норменной формой степени над полем F называется однородный полином такой, что и А в пространстве имеет только тривиальный нуль, т. е. из равенства вытекает Следующий пример показывает, что если поле F не является -замкнутым, то норменные формы степени над полем F существуют.

Пример. Пусть расширение степени В силу леммы 16.3а левое регулярное матричное представление для К относительно базиса алгебры приводит к форме степени такой, что

Поскольку норма отображает группу в группу то норменная форма над полем

Этот пример объясняет возникновение названия «норменная форма»; он также показывает, что условие в определении к. а. з. полей естественно.

Лемма. Пусть поле, над которым существует норменная форма степени Пусть однородные полиномы степени Если то существует вектор такой, что

Доказательство. Предположим, что норменная форма над полем Согласно лемме 19.1, полином является либо нулевым, либо однородным полиномом степени Поскольку поле F является к. а. з. полем, то для некоторого Следовательно, (так как А — норменная форма).

Предложение. Всякое алгебраическое расширение квазиалгебраически замкнутого поля F квазиалгебраически замкнуто.

Доказательство. Пусть алгебраическое расширение. Мы должны показать, что для произвольной формы степени где существует вектор такой, что Поскольку коэффициенты формы порождают конечное расширение поля то можно предполагать, что Как следует из приведенного выше примера, над полем F существует норменная форма степени так что условия леммы в нашем случае выполнены. Пусть базис алгебры Определим линейные формы

от новых переменных Так как элементы поля К являются линейными комбинациями элементов с коэффициентами в поле то из леммы 19.1 вытекает существование форм степени таких, что

Число переменных превосходит число так что в силу предыдущей леммы для некоторого имеем Пусть Тогда в силу (1) и Кроме того, так как базис алгебры

Упражнения

(см. скан)