§ 7.7. Теорема Ройтера

Теперь у нас имеется необходимый аппарат для доказательства первой гипотезы Брауэра — Тролла. Мы будем использовать существование почти расщепляющихся последовательностей и верхней границы длин композиций морфизмов (следствие 7.2). С помощью этих фактов можно доказать, что если тип алгебры А ограничен числом то любой неразложимый -модуль

принадлежит где обозначает подкласс в построенный в § 7.6. Отсюда следует справедливость гипотезы Брауэра — Тролла, поскольку число классов изоморфизма модулей из конечно.

Приведем схему получения этого результата. Ключевая лемма показывает, что если такие неразложимые модули, что то существует ненулевой гомоморфизм из представимый в виде композиции где каждый гомоморфизм неразложимых модулей, не являющийся изоморфизмом. Этот результат получается индукцией по причем при переходе от используется существование почти расщепляющихся расширений. Согласно следствию 7.2, композиция с описанными свойствами может существовать только при Из этого замечания легко следует утверждение теоремы. В имеющемся доказательстве в качестве технического приема вводится модифицированный вариант модуля следа

модуля в модуле где суммирование распространяется не на все гомоморфизмы, а только на те, которые представимы в виде композиции с указанным выше свойством. Существование ненулевой композиции эквивалентно тому, что модифицированный модуль следа не обращается в нуль.

Пусть Для обозначим через множество таких гомоморфизмов Нотд что существует последовательность

в которой модули неразложимы, гомоморфизмы не являются изоморфизмами и Отметим два следствия из этого определения:

если тип алгебры А ограничен числом то для всех множество состоит только из нулевого гомоморфизма. Утверждение (1) очевидным образом следует из определения а утверждение (2) является переформулировкой следствия 7.2.

Модифицированный модуль следа определяется для равенством Свойства (1) и (2) преобразуются в такие:

Из определения вытекает еще один полезный факт:

В самом деле, очевидно, что Следовательно,

Лемма. Предположим, что А — алгебра ограниченного типа. Тогда, если обладают свойством то

Доказательство. Проведем индукцию по Если то предположение о том, что означает, в частности, что Таким образом, согласно (3). Предположим, что и что лемма выполняется для Наша цель — показать, что для имеем Тогда откуда в силу (3) получаем Ввиду того что гомоморфизм не может быть изоморфизмом. Следовательно, не является также и расщепляющейся сюръекцией, ибо модуль неразложим. Это замечание позволяет нам использовать технику почти расщепляющихся расширений. Пусть почти расщепляющееся расширение; его существование обеспечивает предложение 7.6а. Представим в виде где неразложимые модули. Обозначим гомоморфизмы проекции и вложения, связанные с этим разложением, через соответственно. Мы будем использовать тождество хгяг и тот факт, что не является изоморфизмом. (В противном случае гомоморфизм расщепляет что противоречит определению почти расщепляющегося расширения.) Отметим также, что Действительно, по построению; следовательно, если то в соответствии со свойством (3) в § 7.6, что противоречит условию леммы. По предположению индукции Так как гомоморфизм не является расщепляющейся сюръекцией, то существует гомоморфизм со свойством Следовательно,

согласно (5). Как мы заметили ранее, последнее включение доказывает лемму.

Предложение. Если тип артиновой справа алгебры А ограничен числом то для всех

Доказательство. Пусть Поскольку модуль нётеров справа, в нем существует максимальный подмодуль Обозначим через простой модуль Очевидно, Таким образом, согласно (4), имеем при Тогда из предыдущей леммы вытекает требуемое утверждение о том, что для

Теорема Ройтер, Ауслендер, Брауэр, Тролл). Артинова справа алгебра ограниченного типа имеет конечный тип.

Теорема следует из предложения настоящего параграфа и предложения 7.6b.

Упражнение

(см. скан)

Замечания к гл. 7

История гипотез Брауэра — Тролла была описана в § 7.1. Изложение в этой главе следует статье Ямагаты [80], которая в свою очередь базируется на работе Ауслендера [11]. Предложение 7.2, являющееся существенной частью доказательства, заимствовано из работы Харады и Сая [39]. Результат, описанный в упражнении к § 7.1, есть теорема Кэртиса и Джанса.

Другие доказательства первой гипотезы Брауэра — Тролла были даны М. М. Клейнером и А. В. Ройтером в [53] и Смалё. Его статья [72] содержит также доказательство для конечномерных -алгебр промежуточной гипотезы Брауэра — Тролла; если то для бесконечного множества чисел