§ 6.6. Базисные алгебры

Алгебра В называется приведенной, если алгебра является конечной прямой суммой алгебр с делением. В этом параграфе будет показано, что с каждой артиновой справа алгеброй можно связать приведенную алгебру В, сохраняющую многие свойства исходной алгебры. Эта приведенная алгебра В однозначно определяется алгеброй А и называется базисной алгеброй для алгебры А.

Всюду в этом параграфе предполагается, что А — артинова справа -алгебра.

Лемма а. Пусть главные неразложимые правые А-модули; положим Тогда алгебра эндоморфизмов является приведенной в том и только том случае, если для всех

Доказательство. Согласно предложению 6.2,

Из леммы 6.3 вытекает, что каждый фактормодуль прост как -модуль. Поэтому в силу следствий 3.4а, и леммы Шура является прямой суммой алгебр с делением в том и только том случае, когда для всех Утверждение леммы вытекает теперь из предложения

Лемма Предположим, что правый идеал алгебры А является прямым слагаемым модуля А а, и представим его в виде где неразложимые модули. Тогда следующие условия эквивалентны:

(i) фактормодуль является точным правым -модулем;

(iii) любой главный неразложимый правый -модуль изоморфен одному (или нескольким) из

Доказательство. Сделаем вначале два замечания, которые сводят доказательство к случаю полупростой алгебры. Во-первых, отметим, что условие (ii) эквивалентно следующему условию;

В самом деле, условие очевидно, эквивалентно тому, что а последнее по лемме Накаямы равносильно В силу предложения 6.3 условие (iii) можно заменить на такое:

(iii) любой простой правый изоморфен одному из фактормодулей

Так как условие (i) само по себе является условием на алгебру то можно предполагать, что т. е. алгебра полупроста, и, следовательно, главные неразложимые модули просты. Рассмотрим представление вида По лемме 3.5b простые подмодули модуля являются минимальными правыми идеалами алгебры изоморфными одному из при этом любой простой подмодуль модуля удовлетворяет условию Таким образом, из (i) вытекает эквивалентность является следствием того, что в силу предложения любой простой правый -модуль изоморфен минимальному правому идеалу алгебры То, что из (ii) следует очевидно.

Предложение а. В любой артиновой справа R-алгебре А существует правый идеал обладающий свойствами

(i) Р является прямым слагаемым модуля

(iii) R-алгебра является приведенной.

Идеал определяется свойствами (i), (ii) и (iii) однозначно с точностью до изоморфизма.

Доказательство. Согласно леммам правый идеал являющийся прямым слагаемым модуля удовлетворяет условиям в том и только том случае, когда он имеет вид где множество различных представителей всех классов изоморфизма главных неразложимых правых -модулей. Очевидно, что такой идеал существует и определен однозначно с точностью до изоморфизма.

Пусть правый идеал алгебры удовлетворяющий условиям предыдущего предложения; тогда алгебра называется базисной алгеброй для алгебры Так как идеал определен однозначно с точностью до изоморфизма, то это определение не зависит от выбора

Пример. Пусть полупростая алгебра. Согласно структурной теореме Веддербёрна, где алгебра с делением. На самом деле где простой правый -модуль, являющийся прямым слагаемым в Положим Тогда идеал является прямым слагаемым в и алгебра приведенная. Следовательно, алгебра является базисной для

Предложение Пусть А — артинова справа алгебра. Тогда ее базисная алгебра В обладает следующими свойствами: (i) В артинова;

(ii) существует изоморфизм решеток такой, что ; при этом мультипликативен, т. е. для всех идеалов

Доказательство. Пусть где правый идеал, являющийся прямым слагаемым в и такой, что для некоторого множества представителей классов изоморфизма главных неразложимых правых -модулей. Согласно предложению 6.4а, в существуют такие идемпотенты что для и для Ввиду следствия алгебру В можно отождествить с в оставшейся части доказательства мы предполагаем, что это отождествление произведено. Если правый идеал в В, то является правым идеалом в как мы отметили при доказательстве следствия соответствие определяет сохраняющее включение отображение из в В частности, из артиновости вытекает артиновость В. Заметим, что если , то а если то . Кроме того, Таким образом, соответствия являются взаимно обратными отображениями между сохраняющими включения. Отсюда следует, что отображение осуществляет изоморфизм решеток Кроме того, Доказательство равенства легко получить, воспользовавшись тем, что изоморфизм решеток, если учесть равенства

Справедливость этих равенств, выражающих тот факт, что радикал артиновой алгебры представляется в виде пересечения максимальных двусторонних идеалов, легко вытекает из структурной теоремы Веддербёрна. Для доказательства совпадения и заметим, что причем модуль является неразложимым ввиду локальности алгебры Если то, согласно следствию в В существуют такие элементы х и у, что В этом случае, опять по следствию имеем так что Следовательно, модули образуют систему представителей

классов изоморфизма главных неразложимых правых -модулей. Таким образом, имеет то же самое множество вершин что и Ввиду того что их ребра также совпадают,

Упражнения

(см. скан)