§ 19.7. Скрученные ряды Лорана

В этом параграфе мы рассмотрим другую конструкцию алгебр с делением. Это общий метод, принадлежащий Гильберту.

Впервые эта конструкция появилась в издании 1930 г. его книги по основаниям геометрии. Ее частный случай был описан в упр. 2 из § 17.4.

Пусть алгебра с делением над полем причем не предполагается, что является конечномерной F-алгеброй. Пусть —автоморфизм -алгебры Как обычно, независимую переменную мы обозначаем через Определим как множество всех формальных рядов Лорана где для всех В этих выражениях х играет роль формальной переменной. Равенство формальных сумм определяется по следующему правилу: если для для а также для Таким образом, для произвольного конечного множества элементов из можно считать, что их записи начинаются с одного и того же Если почти все коэффициенты а в формальной сумме пулевые, то мы будем записывать ее как полином от В частности, мономы рассматриваются как элементы в а алгебра отождествляется с константами Зададим на множестве структуру F-алгебры, определяя сложение и умножение на скаляры покомпонентно:

Определим умножение, исходя из условия, что сопряжение с помощью х совпадает на с действием автоморфизма т. е. Отсюда

Стандартнаяпроверка показывает, что является относительно этих операций F-алгеброй, а подалгеброй алгебры Для доказательства выполнения законов ассоциативности и дистрибутивности, а также ассоциативности умножения на скаляр необходимо, чтобы являлся автоморфизмом F-алгебры

На алгебре можно задать нормирование Выберем число такое, что Определим отображение положив где

Как обычно, пусть Очевидно, что поскольку в алгебре нет делителей нуля. Значит, нормирование. Заметим, что различные приводят к эквивалентным нормированиям. Поскольку множество состоит из степеней числа то нормирование дискретно. Ясно, что В частности, униформизующая и ограничение тривиально.

Предложение -алгебра с делением, полная в -топологии.

Доказательство. Докажем сначала, что алгебра полная. Пусть последовательность Коши в например, Переходя к подпоследовательности, мы можем считать, что для всех В этом случае для всех и по индукции для всех Следовательно, Для доказательства того, что алгебра с делением, достаточно показать, что каждый ненулевой элемент обладает обратным. Пусть где Запишем элемент в виде где

Поскольку то ряд сходится в алгебре

Алгебра называется алгеброй скрученных рядов Лорана над Если — тождественный автоморфизм, мы будем обозначать эту алгебру через и называть ее алгеброй рядов Лорана над

Наше описание центра алгебры использует одно свойство автоморфизма о. Группа автоморфизмов F-алгебры содержит подгруппу состоящую из внутренних автоморфизмов где автоморфизм определен для всех правилом Простое вычисление показывает, что тсгт Следовательно, нормальный делитель группы Определим внутренний порядок элемента как порядок смежного класса в группе Если поле, то внутренний порядок а совпадает с его порядком в группе поскольку

Лемма. Пусть алгебра с делением над полем такая, что размерность конечна. Предположим, что а является F-автоморфизмом алгебры Тогда имеют место следующие утверждения.

(i) внутренний порядок автоморфизма а совпадает с порядком ограничения

(ii) если внутренний порядок автоморфизма а конечен, то существует элемент такой, что

Доказательство. По определению внутреннего автоморфизма для любого Поэтому из следует, что Обратно, предположим, что Ввиду того что теорема Нётер — Сколема применима к -алгебре из нее следует, что Таким образом, внутренний порядок а совпадает с порядком ограничения Предположим, что этот порядок конечен и равен Если поле неподвижных элементов относительно а, то циклическое расширение степени с группой Галуа С другой стороны, поскольку внутренний порядок а, то существует такой элемент что Наша цель — показать, что элемент х можно выбрать так, чтобы Заметим, что тогда и только тогда, когда т. е. В частности, из равенств вытекает, что при некотором

Следовательно, Значит, По теореме Гильберта (упр. 1 из § 16.6) для некоторого Если то

Предложение Пусть алгебра с делением над полем такая, что размерность конечна. Предположим, что автоморфизм имеет внутренний порядок Положим

Если порядок бесконечен, то

Если порядок конечен, то существует элемент такой, что и для

Доказательство. Пусть Ясно, что тогда и только тогда, когда т. е.

Из условия (1) следует, что

Следовательно, если частности, когда порядок бесконечен. В этом случае в силу Обратно, очевидно, что Предположим, что Если то и порядок делит пусть В силу леммы существует элемент такой, что Тогда

в силу (3). Значит, для некоторого Кроме того, в силу (2) и равенства Следовательно, если то где для всех Стандартное вычисление доказывает обратное: каждый такой элемент 2 принадлежит центру

Следствие. Если алгебра с делением над полем такая, что размерность конечна, и а — автоморфизм над F алгебры с конечным внутренним порядком то алгебра конечномерна своим центром. Кроме того, если степени алгебр над их центрами, то

Доказательство. В обозначениях предложения

Пример. Предположим, что алгебраически замкнутое поле характеристики нуль и алгебра с делением, конечномерная над своим центром. Если то в силу предложения Пусть — примитивный корень степени из единицы. Определим автоморфизм формулой Внутренний порядок и порядок автоморфизма а равны Кроме того, поле неподвижных элементов относительно ограничения есть Положим Центр алгебры описывается предложением если положить В силу следствия степень алгебры над ее центром равна и

Начиная с поля можно с помощью итерирования этой конструкции, получать центральные простые алгебры с очень

интересными свойствами. Такая техника будет использована в § 19.9 для доказательства важной теоремы, принадлежащей Амицуру.

Упражнения

(см. скан)