§ 20.6. Центральные полиномы

Первое полиномиальное тождество на алгебре было найдено в 1936 г. Вагнером; оно таково: Тождество Вагнера эквивалентно следующему утверждению: если то всегда элемент из центра.

Полином называется центральным полиномом для F-алгебры А, если при всех гомоморфизмах алгебры в А. Если полиномиальное тождество на алгебре А, то ясно, что полином централен. В этом случае называется тривиальным; центральный полином нетривиален, если для некоторых Из тождества Вагнера следует, что полином является для алгебры центральным; он также нетривиален. Постоянные полиномы, принимающие значение в также центральны и нетривиальны, но не очень интересны

Если — класс F-алгебр и то централен для класса если централен для всех алгебр Если то ясно, что централен для тогда и только тогда, когда В частности, если — нетривиальное многообразие F-алгебр, порожденное алгеброй то централен для многообразия тогда и только тогда, когда централен для алгебры А. Для нас представляют интерес полиномы, которые центральны для многообразий

Лемма а. Если бесконечное поле и то следующие свойства полинома эквивалентны:

(i) полином централен для многообразия ;

(ii) полином централен для алгебры ;

(iii) , где гомоморфизм проекции;

полином централен для алгебры для некоторого (всякого) поля

Доказательство. Эквивалентность условий является частным случаем предыдущих рассуждений. Ясно, что из (ii) вытекает В силу леммы 20.5 эквивалентны условия Наконец, из (iv) вытекает поскольку существует сюръективный гомоморфизм F-алгебр такой, что при Так как поле F бесконечно и К — расширение поля то в силу леммы имеем Следовательно, условие (v) эквивалентно условию

Для краткости будем говорить, что полином является -центральным, если он удовлетворяет эквивалентным условиям леммы а. Кроме того, обычно мы будем предполагать, что поле F бесконечно, так что свойство полинома быть -центральным сохраняется при расширении (или сужении) поля.

Лемма b. Если полином является центральным и то тождество на алгебре

Доказательство. Для положим Так как полином является -центральным, существует элемент такой, что С другой стороны, из вида и условия вытекает, что

Следовательно,

Возникает естественный вопрос: существуют ли для всех нетривиальные непостоянные -центральные полиномы? Оказывается, что таких полиномов очень много, но удивительно то, что указать хотя бы один из них трудно. Имея нетривиальный -центральный полином, мы сможем показать, что центр алгебры очень велик, откуда в силу леммы а будет следовать существование многих -центральных полиномов.

Первая конструкция нетривиальных -центральных полиномов была найдена Форманеком в работе 1972 г. [33].

Теорема Форманека. Пусть бесконечное поле. Для каждого существует нетривиальный -центральный однородный полином степени

Доказательство. Можно считать, что 2; ясно, что нетривиальный -центральный полином. Пусть независимые коммутирующие переменные. Положим

Мы воспользуемся следующим простым фактом.

Представим полином в виде суммы различных мономов:

где сумма распространена на все последовательности неотрицательных целых чисел, таких, что — элемент простого подполя поля Определим полином следующим образом: где

и

Ясно, что полином 9 однороден степени Мы покажем, что является -центральным. Пусть -алгебраическое замыкание поля введенного в § 20.5, где Пусть

— произвольная диагональная матрица из алгебры отображения множества в себя. Определим гомоморфизм такой, что матричные единицы, Основной шаг доказательства состоит в том, чтобы показать, что кроме случаев, когда

и если условия (2) выполнены. Начнем со следующего замечания:

если только не выполнены условия от Таким образом, если эти условия не выполнены, а если они выполнены, то Так как то

есть нуль, если только отображение не является перестановкой множества Таким образом, условия (2) являются необходимыми для того, чтобы Если они выполнены, то из утверждения (1) следует, что Ввиду симметричности условий если они не выполнены, и в противном случае. Следовательно, если условия (2) нарушены, и когда они выполнены. В обоих случаях Так как полином линеен по переменным то для любых элементов Пусть собственные значения общей матрицы Все эти элементы различны (в силу упр. 2), так что для подходящей матрицы Поэтому

В силу леммы а полином является -центральным. Мы видели, что существует гомоморфизм такой, что т. е. не является тождеством на алгебре Поскольку поле F бесконечно, то не тождество на алгебре Следовательно, полином нетривиален.

Ю. П. Размыслов указал пример нетривиального -централь-лого полинома степени который равномерен и

полилинеен (см. [65]). В силу леммы 20.3а этот полином нетривиален на и в том случае, когда поле F конечно. Изложение конструкции Размыслова имеется в работе Джекобсона [49].

Упражнения

(см. скан)