§ 9.6. Эквивалентность Мориты

Две алгебры называются эквивалентными в смысле Мориты, если эквивалентны категории модулей над ними. В этом случае классы изоморфизма неразложимых -модулей находятся во взаимно однозначном соответствии с классами изоморфизма неразложимых -модулей. В частности, алгебра А имеет конечный тип в том и только том случае, когда В имеет конечный тип. Таким образом, проблему определения типа алгебры А можно иногда упростить путем перехода к некоторой другой алгебре В, которая лучше поддается изучению, но в то же время эквивалентна в смысле Мориты алгебре А.

Наиболее подходящим аппаратом для изучения эквивалентности Мориты является теория категорий. Для того чтобы свести к минимуму ее использование, мы докажем только один частный случай основной теоремы об эквивалентности Мориты, которого, однако, вполне достаточно для наших целей. Систематическое изложение теории Мориты можно найти в книге Басса [17].

Лемма. Пусть правый идеал R-алгебры А, такой, что является прямым слагаемым модуля и Положим и рассмотрим как -бимодуль. Для любого правого -модуля обозначим через правый -модуль ; для любого правого -модуля обозначим через правый -модуль Тогда выполняются следующие утверждения:

(i) как -модули, причем изоморфизм осуществляется отображением, удовлетворяющим условию ;

(ii) как -модули, причем изоморфизм осуществляется отображением и где

Доказательство, (i) Билинейное отображение ( произведения Ногщ является сбалансированным, ибо (8а) по определению правого действия алгебры В на Таким образом, существует гомоморфизм тензорного произведения в такой, что Очевидно, что является гомоморфизмом -модулей. Для доказательства того, что на самом деле изоморфизм, мы построим обратное отображение Ввиду того что найдутся такие конечные наборы элементов что Для положим

Из определения вытекает, что и, а из соотношений

следует цепочка равенств

так что .

(ii) Пусть гомоморфизм -модулей, определяемый соотношением Билинейное отображение является сбалансированным, ибо обе пары переводятся в Кроме того, по лемме 6.4 имеем Следовательно, гомоморфизм существует. Обозначим через отображение с—модуля Очевидно, является гомоморфизмом -модулей; более того, является гомоморфизмом -модулей, ибо для всех а ей. Если то для всех Следовательно, по лемме Поэтому инъективен. Если то по лемме 6.4 существует такой

что действительности можно предполагать, что однако, чтобы это увидеть, необходимо немного поразмыслить.) Пусть Если так что Эти рассуждения показывают, что сюръективен.

Соответствия между объектами продолжаются до функторов между категориями правых -модулей и правых -модулей. Это значит, что если гомоморфизм -модулей, то ему отвечает гомоморфизм -моду-лей определяемый равенством Аналогично, если гомоморфизм -модулей, то Очевидно, что соответствия 5 и сохраняют композицию гомоморфизмов и переводят тождественные отображения в тождественные. Отсюда, в частности, следует, что из вытекает изоморфизм а из изоморфизм Ясно также, что функторы являются аддитивными, т. е. Воспользовавшись этим замечанием, легко показать, что Можно показать (см. упр. 1), что функторы определяют эквивалентность категорий правых -модулей и правых -модулей. По определению это означает, что алгебры эквивалентны в смысле Мориты.

Предложение. Пусть А — артинова справа алгебра, ее базисная алгебра. Тогда существует взаимно однозначное соответствие между классами изоморфизма правых -модулей и классами изоморфизма правых -модулей, при котором неразложимым модулям отвечают неразложимые модули, а конечно порожденным -модулям — конечно порожденные -модули.

Доказательство. Согласно определению, приведенному после предложения 6.6а, где правый идеал в являющийся прямым слагаемым модуля и такой, что В предыдущей лемме построены соответствия между -модулями и -модулями, обладающие свойствами для любого -модуля и любого -моду-ля Ввиду функториальности индуцируют взаимно обратные биекции между классами изоморфизма. Из аддитивности вытекает, что модуль неразложим тогда и

только тогда, когда неразложим. Предположим, что -модуль конечно порожден, скажем Как и в доказательстве леммы, рассмотрим представление где Тогда Нотд как правый В-мо-дуль порождается множеством Действительно, если то, согласно лемме в найдется такой элемент что Ввиду того что причем имеем

Наконец, предположим, что конечно порожденный правый -модуль, скажем Согласно предложению 6.4а, существует такой идемпотент что Следовательно,

Таким образом, множество порождает как правый -модуль.

Следствие. Пусть А — артинова справа алгебра, ее базисная подалгебра. Тогда А имеет конечный тип в том и только том случае, если В имеет конечный тип.

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)

Замечания к гл. 9

Первые четыре параграфа этой главы содержат последовательное изложение стандартной теории тензорных произведений. Этот материал можно найти в большинстве руководств по алгебре. По-видимому, менее известны применения тензорных произведений, содержащиеся в § 9.5 и 9.6. Материал § 9.5 ориентирован на теорию представлений групп и, в частности, предназначен для доказательства теоремы Хигмана. В § 9.6 мы ограничились только первоначальными сведениями по эквивалентности Мориты, однако уже здесь, как нам кажется, выявилась полезность категорного подхода к классической алгебре.