§ 6.5. Структура артиновых алгебр

Этот параграф содержит некоторые применения результатов о проективных модулях к структурной теории артиновых алгебр. Начнем с утверждения, дающего красивое описание одного специального класса алгебр. -алгебра А называется примарной, если факторалгебра проста.

Предложение а. Пусть А — артинова справа примарная алгебра. Тогда все главные неразложимые правые -модули изоморфны друг другу. Кроме того, для некоторого однозначно определенного натурального числа и некоторой артиновой справа локальной алгебры В, которая единственна с точностью до изоморфизма.

Доказательство. Ввиду того что алгебра является одновременно простой и полупростой, все простые правые -модули изоморфны согласно предложению З.ЗЬ. Из предложения 6.3 вытекает тогда, что все неразложимые правые -модули также изоморфны между собой. Следовательно, где однозначно определенное натуральное число, единственный с точностью до изоморфизма главный неразложимый правый -модуль. В силу предложения следствия 3.4а

где Так как модуль неразложим, артинов и нётеров (по следствию то из следствия 5.3 вытекает, что алгебра В локальна. Кроме того, предложение 6.4а позволяет утверждать, что для некоторого идемпонтента Из правой артиновости и следствия вытекает, что алгебра также артинова справа, т. е. В артинова. Если где алгебра С локальна, то и (в силу следствия так что правый -модуль является главным неразложимым. Из единственности и вытекает тогда, что .

Обращение этого предложения описано в упр. 1.

Артиновы алгебры, не являющиеся примарными, могут обладать неизоморфными главными неразложимыми модулями такими, что этом случае рассуждение, которое приводит к доказательству структурной теоремы Веддербёрна, не проходит. Колчан артиновой алгебры определяется таким образом, чтобы следить за такими модулями Поэтому можно ожидать, что геометрические свойства отражают структуру алгебры А. В оставшейся части этого параграфа исследуются простейшие связи между

Если колчана с непересекающимися множествами вершин, то несвязное объединение колчанов есть колчан Если — некоторый колчан и то является несвязным объединением в

точности тогда, когда в не существует ребер, соединяющих вершину из с вершиной из Если колчан нельзя представить в виде несвязного объединения двух непустых колчанов, то он называется связным. Это значит, что любая пара вершин колчана может быть соединена путем, состоящим из ребер (при этом ориентация не учитывается). Из геометрических соображений кажется правдоподобным, что любой колчан обладает единственным представлением в виде несвязного объединения связных колчанов. Этот факт будет доказан в § 8.4.

Лемма а. Если артинова алгебра А является прямой суммой алгебр то

Доказательство. Пусть где По определению элементы являются примитивными идемпотентами алгебр соответственно; они являются также примитивными идемпотентами в ибо модули неразложимы. Для подходящих натуральных чисел имеют место изоморфизмы

Отсюда следует, что

По теореме Крулля — Шмидта любой главный неразложимый правый -модуль изоморфен одному из или Так как по лемме то для всех кроме того, тогда и только тогда, когда тогда и только тогда, когда Это доказывает, что

Лемма b. Пусть А — такая артинова справа алгебра, что Тогда существуют артиновы справа алгебры удовлетворяющие таким условиям:

Доказательство. Пусть так что Тогда где причем неразложимые слагаемые и модуля

сгруппированы таким образом, что для некоторого для некоторого Так как то из следствия вытекает, что для всех Значит, и по следствию Таким образом, являются идеалами в Если то неразложимый В-модуль. Далее, если то Аналогично, элементы из являются примитивными идемпотентами в С, порождающими неизоморфные -модули. Из леммы а тогда вытекает, что

Нетривиальная артинова алгебра В называется блоком, если колчан связен.

Предложение Пусть А — артинова справа алгебра. Тогда справедливы следующие утверждения.

(i) А единственным образом разлагается в прямую сумму блоков,

(ii) каждый блок является неразложимой алгеброй.

Доказательство. Колчан единственным образом разлагается в несвязное объединение связных колчанов. По лемме где Таким образом, каждая из алгебр является блоком. Однозначность этого разложения является частным случаем результата упр. 2. Тот факт, что блоки являются неразложимыми алгебрами, непосредственно вытекает из леммы а.

Упражнения

(см. скан)