§ 1.5. Конечномерные алгебры над полем

Если поле и А — некоторое -пространство с базисом то структура неассоциативной -алгебры на А определяется заданием произведений

хкакц,

В самом деле, (1) однозначно продолжается до билинейного умножения на А по правилу

Участвующие в элементов а называются структурными константами этого умножения. (В этом параграфе значки над буквами обозначают индексы, а не показатели степени.)

Каждая -мерная F-алгебра А может быть определена (с точностью до изоморфизма) заданием соответствующих структурных констант . С другой стороны, произвольный выбор структурных констант не всегда обеспечивает ассоциативность умножения и существование единицы. Кроме того, различные наборы структурных констант могут приводить к изоморфным алгебрам.

Согласно лемме 1.2 умножение в алгебре А ассоциативно тогда и только тогда, когда для всех от 1 до Непосредственное вычисление, использующее соотношение (1), показывает, что ассоциативность эквивалентна тому, что структурные константы удовлетворяют следующему соотношению:

Пояснить тождества (2) можно так. Зафиксируем -базис алгебры А. Тогда каждому линейному преобразованию можно поставить в соответствие матрицу определяемую соотношениями Хорошо известно (и мы это докажем), что отображение осуществляет изоморфизм между Очевидно, что есть матрица, отвечающая (при этом обозначает индекс строки, а индекс столбца) и в то же время отвечающая индекс строки, индекс столбца). Равенства (2) соответствуют соотношениям для Другими словами, (2) является записью в координатах того условия, что левое и правое регулярные представления алгебры А перестановочны, а это, очевидно, эквивалентно ассоциативности.

Обеспечить, чтобы соотношения (1) определяли алгебру с единицей, проще всего, заранее потребовав, чтобы один из базисных элементов, скажем действовал как единица. Это, очевидно, эквивалентно тому, что

где обычный символ Кронекера. Другими словами, тождественное преобразование алгебры А. Если выполнено равенство (3), то автоматически выполняются

те равенства из (2), где один из индексов или равен 1. Наконец, следует отметить, что условие не сужает класса F-алгебр, которые могут быть построены на пространстве А посредством умножения (1). Действительно, если то любая -мерная F-алгебра А нетривиальна, так что единичный элемент алгебры А можно выбрать в качестве одного из элементов базиса.

Рассмотрим, далее, проблему неединственности. Когда две системы и структурных констант определяют на пространстве А изоморфные (неассоциативные) алгебры? Ясно, что это будет иметь место в том и только том случае, когда существует такое невырожденное линейное преобразование у пространства А, что для выполняется равенство где обозначает умножение, определенное системой умножение, определенное системой Пусть матричная запись преобразования у в выбранных координатах. Непосредственное вычисление, основанное на соотношении (1), дает

Таким образом, структурные константы приводят к изоморфным алгебрам тогда и только тогда, когда существует невырожденная -матрица удовлетворяющая (4). Полагая можно переписать уравнения (4) в виде

Можно привести эти равенства к бескоординатной форме, используя соответствующие умножению, определяемому и соответствующие Формулы (5) эвивалентны любой из систем

Если элемент является единичным для умножений, определенных посредством то любой изоморфизм между этими структурами должен отображать в себя. В терминах

матрицы этого изоморфизма это условие сводится к тому, чтобы первый столбец был равен

Если элемент является единицей для умножения, определяемого константами а константы Ьопределяются, исходя из уравнений (5) и условия то является также единицей для умножения, определяемого

Рассуждения этого параграфа можно изложить на языке алгебраической геометрии. Упорядочим каким-либо образом тройки и поставим в соответствие каждой системе структурных констант а точку в -мерном аффинном -пространстве с координатами Это определяет взаимно однозначное соответствие между точками пространства и множеством всех неассоциативных -алгебр на пространстве А. Системы равенств (2) и (3) определяют подмногообразие V (возможно, приводимое) в состоящее из точек, отвечающих -алгебрам с единичным элементом Формулы (2) определяют линейное действие полной линейной группы на причем орбиты этого действия находятся во взаимно однозначном соответствии с классами изоморфизма неассоциативных -мерных алгебр над Многообразие V инвариантно относительно подгруппы группы состоящей из матриц, у которых первый столбец есть

т. е. относительно -мерной аффинной группы. Следовательно, классы изоморфизма -мерных находятся во взаимно однозначном соответствии с орбитами действия аффинной группы на

Теоретически описанная нами классификация структурных констант дает полное описание классов изоморфизма -мерных F-алгебр. Однако на практике этот подход бесполезен для больших значений Упражнение 3 показывает, что происходит в случае

Завершим этот параграф одним очевидным следствием сделанных выше замечаний.

Предложение. Для произвольного поля F и любого натурального числа кардинальное число классов изоморфизма n-мерных -алгебр не превышает

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)