§ 17.5. Локальные поля

В этом параграфе вводится класс полей, которые будут предметом нашего внимания до конца главы. Локальное поле — это поле F с неархимедовым нормированием о, таким, что кольцо

компактно в -топологии. Основная цель этого параграфа — конкретное описание локальных полей.

Нормирование алгебры с делением называется дискретным, если циклическая подгруппа группы Значит, дискретно тогда и только тогда, когда существует элемент такой, что Если, кроме того, то элемент называется униформизующей нормирования и. Корни этой терминологии лежат в теории римановых поверхностей. Ясно, что нормирование, эквивалентное дискретному, само дискретно.

Предложение а. Пусть нормирование алгебры с делением Тогда имеют место следующие утверждения:

(i) Если нормирование дискретно, то оно неархимедово и всякая его униформизующая порождает и как правый, и как левый идеал;

(ii) если нормирование неархимедово и является главным левым или правым идеалом кольца то оно дискретно.

Доказательство. Архимедово нормирование не может быть дискретным, поскольку а множество плотно в в силу следствия 17.2 и теоремы 17.3. Если униформизующая дискретного нормирования то для некоторого Следовательно, Аналогично, Поэтому элемент порождает и как левый, и как правый идеал. Обратно, предположим, что нормирование неархимедово и Нетрудно видеть тогда, что В частности, если то при некотором Следовательно, так что Отсюда легко следует, что Аналогичное рассуждение показывает, что дискретно, если главный левый идеал кольца

Лемма. Пусть нетривиальное дискретное нормирование алгебры с делением Если униформизующая нормирования то для любого имеет место изоморфизм абелевых групп В частности, если конечна, то для всех

Доказательство. Отображение сюръективный гомоморфизм групп поскольку (ввиду нетривиальности нормирования о). Следовательно,

Предложение Пусть неархимедово нормирование алгебры с делением Тогда кольцо компактно в -топологии в том и только том случае, когда нормирование дискретно, алгебра полна, а алгебра конечна.

Доказательство. Предположим, что кольцо компактно. Пусть последовательность Коши в алгебре Тогда существует число и, такое, что и для всех Следовательно, последовательность Коши в компактном метрическом пространстве Поскольку компактные метрические пространства полны, существует предел Поэтому существует предел . "Следовательно, алгебра полна. Пусть система представителей смежных классов кольца по идеалу т. е. Ясно, что каждое множество открыто в и если где Ввиду компактности кольца множество X конечно, поэтому конечна и алгебра Кроме того, множество замкнуто в В частности, оно компактно. Следовательно, достигается т. е. существует элемент такой, что для всех Отсюда, как и в доказательстве предложения а, получаем, что нормирование дискретно. Обратно, предположим, что нормирование дискретно, алгебра полна, а алгебра конечна. Поскольку замкнуто в алгебре оно также и полно. Для того чтобы доказать его компактность, достаточно (ввиду элементарной теоремы о топологии, индуцированной метрикой) доказать, что оно вполне ограничено, т. е. что для каждого является объединением множеств с диаметром, меньшим чем Пусть униформизующая дискретного нормирования Выберем число так, чтобы Из неравенства легко следует, что смежные классы имеют диаметры меньшие, чем В силу леммы множество конечно. Следовательно, множество является конечным объединением множеств, диаметры которых меньше, чем т. е. вполне ограниченное множество и поэтому компактно.

Ясно, что если кольцо компактно в -топологии алгебры с делением то в этой топологии локально компактное пространство. Обратное утверждение неверно, так как алгебра локально компактна в дискретной топологии, которая является топологией тривиального нормирования. Однако это единственное исключение, нарушающее справедливость обратного

утверждения (см. упр. 1). Поэтому можно, не опасаясь впасть в противоречие, называть алгебру с делением локально компактной в -топологии, если кольцо компактно.

Можно доказать, что единственными локально компактными полями в топологии архимедова нормирования являются поля (теорема Островского). По определению локальные поля — это поля, которые локально компактны в топологии нетривиального неархимедова нормирования.

Если нетривиальное нормирование алгебры с делением такое, что компактно в -топологии, то каждое замкнутое ограниченное подмножество компактно. Действительно, если то для достаточно большого гомеоморфизм В частности, каждое замкнутое ограниченное подмножество локального поля компактно, поскольку поле с дискретной топологией является локальным лишь в том случае, когда оно конечно.

Следствие а. Пусть дискретное нормирование поля такое, что конечное поле. Тогда пополнение поля F в -топологии является локальным полем.

Следствие а вытекает непосредственно из предложения а, предложения предложения 17.4 и следствия

Следствие Пусть простое число, тогда локальное поле.

Если поле частных области главных идеалов неприводимый элемент кольца то по определению — дискретное нормирование. В случае когда простое число, получаем в силу теоремы 17.3, что алгебра конечна. Таким образом, следствие вытекает из следствия а.

В дальнейшем удобно под нормированием локального поля F подразумевать такое нормирование что кольцо компактно. Действительно, можно показать, что нормирование с таким свойством единственно с точностью до эквивалентности.

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)