ГЛАВА 13. Подполя простых алгебр

В этой главе мы займемся разработкой аппарата для систематического изучения группы Брауэра. Основательное ее исследование будет предпринято в следующей главе; важнейшими его инструментами будут теория когомологий, развитая в гл. 11, и теория подполей центральных простых алгебр, которой посвящены первые пять параграфов этой главы. Последний ее параграф содержит приложения этой теории, в том числе теорему Веддербёрна о конечных алгебрах с делением и теорему Картана — Брауэра —

§ 13.1. Максимальные подполя

Подполе алгебры А над полем это подалгебра которая является полем. В частности, содержит подмножество так что ее можно рассматривать как расширение основного поля Как обычно, через обозначается размерность как пространства над Ясно, что Если не существует подполя К алгебры А, такого, что то называется максимальным подполем этой алгебры.

Лемма а. Пусть В — алгебра над полем причем делит Тогда В изоморфна подалгебре алгебры

Доказательство. При лемма справедлива ввиду следствия Общий случай вытекает из этого частного, поскольку диагональное вложение является инъективным гомоморфизмом алгебры В в прямую сумму экземпляров алгебры

В дальнейшем мы будем часто использовать следующее простое свойство алгебр с делением.

Лемма Пусть алгебра с делением над полем Если то существует подполе такое, что Если то подалгебра является подполем алгебры

Доказательство. Так как то множество есть коммутативная подалгебра алгебры является гомоморфизмом алгебры в алгебру Так как не имеет нетривиальных делителей нуля, то целостности. Следовательно, простой идеал алгебры Если конечно, имеет место в случае, если то максимальный идеал и -поле. Если то подполе алгебры содержащее

Из леммы вытекает, что если алгебра с делением, то всякая подалгебра В алгебры также алгебра с делением. Действительно, если то

Пусть натуральное число. Мы будем говорить, что поле F -замкнуто, если не существует собственного расширения поля такого, что делит Всякое поле -зам-кнуто, поскольку не существует собственных расширений степени 1. С другой стороны, поле F -замкнуто для всех натуральных тогда и только тогда, когда F алгебраически замкнуто. Поле R является -замкнутым для всех нечетных но не является -замкнутым. Непосредственно из определения вытекает, что если F есть -замкнутое поле, то F и -замкнуто для любого делителя числа

Лемма с. Если А — простая конечномерная алгебра над полем такая, что ее максимальное подполе, то является -замкнутым для

Доказательство. Из структурной теоремы Веддербёрна ввиду конечномерности и простоты алгебры А вытекает, что А где алгебра с делением над На самом деле В противном случае ввиду леммы существовало бы подполе алгебры являющееся собственным расширением Но этого не может быть, поскольку по предположению максимальное подполе алгебры А. Если F не является -замкнутым, то существует собственное расширение такое, что делит В этом случае содержит подполе, изоморфное в силу леммы а, что снова противоречит максимальности

Утверждение, обратное к лемме, вытекает из следующего результата, если положить и

Предложение. Пусть и подполе алгебры А, такое, что Тогда следующие условия эквивалентны.

(i) Е - максимальное подполе в

(ii) и поле является -замкнутым. Если утверждения имеют место, то

Доказательство. Предположим, что максимальное подполе алгебры Поскольку простая алгебра, то в силу теоремы о двойном централизаторе проста и алгебра Кроме того, ввиду коммутативности Таким образом, простая алгебра над полем и так как максимальное подполе алгебры А, то оно является максимальным и в алгебре По лемме с существует такое натуральное число что причем поле является -замкнутым. Ввиду теоремы о двойном централизаторе Обратно, предположим, что условие (ii) выполнено. Пусть где К — максимальное подполе алгебры А. Тогда Следовательно, К — максимальное подполе алгебры Из первой части доказательства вытекает, что В частности, делит Но по предположению -замкнуто. Следовательно, является максимальным подполем алгебры А.

Следствие а. Если то для некоторого натурального числа Для всякого подполя алгебры делит

Оба утверждения следствия представляют собой другую формулировку последней части предложения, поскольку всякое подполе алгебры А можно расширить до максимального. Натуральное число называется степенью алгебры А и обозначается через Более точно, для алгебры из

Если подполе алгебры то в силу следствия а. Значит, при поле обязано быть максимальным. Обратное не всегда верно. Например, если поле F является -замкнутым, то оно — максимальное подполе в алгебре Мы будем называть подполе алгебры строго максимальным, если В упр. 2 будет приведен пример алгебры, содержащей строго максимальное подполе и максимальное подполе, которое не является строго максимальным.

Следствие Подполе алгебры является строго максимальным в том и только том случае, когда Если А — алгебра с делением, то каждое максимальное подполе алгебры А является строго максимальным.

Доказательство. Первое утверждение является следствием теоремы о двойном централизаторе, поскольку Если максимальное подполе алгебры с делением А, то ввиду доказанного выше предложения и так как А не имеет ненулевых нильпотентных элементов, то Следовательно, строго максимально.

В заключение этого параграфа, используя максимальные подполя, мы докажем утверждение, сформулированное в § 1.6.

Теорема. Пусть поле характеристики, не равной 2. Если алгебра имеет степень 2, то она изоморфна алгебре кватернионов.

Доказательство. Пусть максимальное подполе алгебры А. Если то леммы с. Если то квадратичное расширение, и поскольку то где Отображение определяет автоморфизм поля так что по теореме Нётер — Сколема существует элемент такой, что Ясно, что Следовательно, Заметим, что из равенства вытекает Поэтому например где Наше рассуждение показывает, что соответствие -продолжается до -излморфизма алгебр

Следствие с (Фробениус). Алгебра единственная с точностью до изоморфизма алгебра с делением над Следовательно,

Доказательство. Пусть конечномерная некоммутативная алгебра с делением над Поскольку поле комплексных единственное нетривиальное алгебраическое расширение поля то либо либо Вторая возможность не имеет места, так как Таким образом, Пусть максимальное подполе алгебры Согласно следствию Следовательно, алгебра кватернионов, так что в соответствии с замечанием после следствия

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)