§ 10.5. Класс сепарабельных алгебр

В этом параграфе мы, используя предложение 10.4, установим замкнутость класса всех сепарабельных -алгебр относительно трех операций.

Предложение а. Пусть -идеал сепарабельной R-алгебрьй А. Тогда R-алгебра также сепарабельна.

Доказательство. Согласно предложению -бимодули совпадают с -бимодулями удовлетворяющими условию При этом для всех и Поэтому для любого бимодули Если сюръективный гомоморфизм -бимодулей, то х является также гомоморфизмом -бимодулей. Поэтому так что алгебра сепарабельна в силу предложения

Предложение Пусть некоторые R-алгебры. Тогда их прямая сумма В является сепарабельной алгеброй в том и только том случае, если обе алгебры сепарабельны.

Доказательство. Если алгебра В сепарабельна, то в силу предложения а обе алгебры сепарабельны. Для доказательства обратного утверждения положим Если некоторый -бимодуль, то (как -бимодули), где Очевидно, что является -бимодулем, а есть -бимодуль. Кроме того, В самом деле, если то и Аналогично, Отсюда получаем, что Если сюръективный гомоморфизм -бимодулей, то Предположение о сепарабельности алгебр приводит к равенствам Следовательно, откуда вытекает сепарабельность

Заключительный результат этого параграфа касается тензорных произведений сепарабельных алгебр. Оказывается, что класс сепарабельных -алгебр замкнут относительно тензорных произведений. Мы докажем более общее утверждение.

Предварительно отметим, что если В — подалгебра в некоторый -бимодуль, то является также -бимодулем. Кроме того,

Предложение с. Пусть подалгебры R-алгебры А, такие, что и объединение порождает А как -алгебру. Тогда выполняются следующие утверждения.

(i) если некоторый -бимодуль, то является -бимодулем

(ii) если алгебры сепарабельны, то и А сепарабельна.

Доказательство. Очевидно, что утверждение (ii) выводится из (i) при помощи предложения 10.4. Если не и то

для всех Следовательно, Аналогично доказывается, что их так что является -бимодулем. Кроме того, в том и только том случае, когда их для всех Ввиду того что множество является подалгеброй в и объединение порождает как -алгебру, получаем, что

Следствие. Если R-алгебры сепарабельны, то R-алгебра также сепарабельна.

Упражнения

(см. скан)