§ 3.6. Теорема Машке

Структурная теорема Веддербёрна является внутренней характеризацией полупростых алгебр; теория радикала, которая будет развита в гл. 4 и 11, позволит выявить их важность в исследовании произвольных алгебр. В этом параграфе будет показано, что полупростые алгебры сами по себе возникают естественным образом. Они лежат в основе построения классической теории представлений групп.

Теорема Машке. Пусть конечная группа и некоторое поле. Групповая алгебра полупроста в том и только том случае, если характеристика поля F не делит порядок группы

Доказательство. Предположим, что не делит вследствие чего число (отождествляемое с обратимо в Согласно предложению 2.4, достаточно доказать, что если правый идеал в то для некоторого правого идеала Это доказывается путем построения такого гомоморфизма -модулей что для всех и ее ибо если такой гомоморфизм уже построен, то является правым идеалом, причем В конструкции используется тот факт, что является подпространством в (здесь рассматривается как векторное пространство над полем а потому существует гомоморфизм F-пространств удовлетворяющий условию ли — и для всех и Определим «усредняя» по группе Более точно, для и положим Очевидно, что является гомоморфизмом -пространств. Более того, для любого

Следовательно, является гомоморфизмом -модулей. Наконец, пусть Тогда их для всех ибо правый идеал. Поэтому, ввиду того что

Рассмотрим теперь случай, когда характеристика поля F (которая обязательно является простым числом) делит порядок группы Из этого предположения следует, что сумма экземпляров любого элемента из равна нулю. Положим Тогда для всех Следовательно, Кроме того, правый идеал в порожденный совпадает с Таким образом, Из леммы следует, что Поэтому в силу следствия 3.1а алгебра не является полупростой.

В упражнениях этого параграфа и ряда параграфов последующих глав будут даны простейшие применения теоремы Машке. Подробное изложение затрагиваемых здесь связей между группами и алгебрами является предметом многих превосходных учебников и монографий. С особым удовольствием мы рекомендуем читателю энциклопедический труд Кэртиса и Райнера [24].

Классическая теория представлений конечной группы использует комплексную групповую алгебру Тем не менее многие результаты этой теории можно обобщить на представления над произвольным алгебраически замкнутым полем характеристика которого не делит порядок группы При этом предположении из теоремы Машке и следствия вытекает, что для подходящих натуральных чисел Эти числа являются степенями неприводимых представлений группы т. е. размерностями простых -модулей. Эти степени определяются структурой группы но простой формулы, выражающей их через элементарные инварианты группы не существует. В то же время число в разложении алгебры совпадает с одним из стандартных инвариантов группы

Следствие. Пусть конечная группа, порядок которой не делится на характеристику алгебраически замкнутого поля Тогда групповая алгебра изоморфна прямой сумме полных матричных алгебр над где число классов сопряженных элементов группы

Ввиду теоремы Машке и следствия в доказательстве нуждается лишь утверждение о том, что равно числу классов сопряженности в Это вытекает из следующих двух замечаний: как пространство над F центр является -мерным; размерность равна числу классов сопряженности в Первое из этих утверждений содержится в упр. 1. Для доказательства второго обозначим через различные классы сопряженности в Таким образом, и если то Положим Элемент принадлежит центру тогда и только тогда, когда для всех Простое вычисление показывает, что последнее условие налагает следующее ограничение на коэффициенты: для всех Отсюда следует, что элементы из и только они могут быть записаны в виде где

Другими словами,

так что размерность равна

Упражнения

(см. скан)

Замечания к гл. 3

В этой главе дано довольно традиционное изложение классических теорем. Такой красивый результат, как структурная теорема Веддербёрна, не нуждается в дополнительных

рекомендаднях. Мы приложили все усилия, чтобы достичь максимальной ясности в ее изложении. Если не считать утверждения о единственности, доказательство теоремы Веддербёрна совершенно прозрачно: оно опирается лишь на (1) определение полупростой алгебры, (2) матричные обозначения для эндоморфизмов прямых сумм (§ 3.4) и (3) лемму Шура, тривиальную по современным понятиям.

Было бы несправедливо приписывать заслугу создания структурной теоремы одному Веддербёрну. Еще в 1893 г. Ф. Э. Молин опубликовал результат, по существу равносильный теореме Веддербёрна для конечномерных комплексных алгебр. Статья Веддербёрна [76], посвященная строению полупростых алгебр, появилась в 1907 г. В ней изучаются конечномерные алгебры над произвольными полями. В 1927 г. Эмиль Артин обобщил результат Веддербёрна на кольца, удовлетворяющие обоим условиям обрыва возрастающих и убывающих цепей идеалов. Наконец, в 1939 г. Гопкинс показал, что условие обрыва возрастающих цепей идеалов является следствием условия обрыва убывающих цепей, что и привело к современной форме структурной теоремы. Принимая во внимание историю создания структурной теоремы, ее иногда называют теоремой Молина или теоремой Артина — Веддербёрна. Один мой коллега в шутку предложил именовать ее W.H.A.M.-теоремой. Однако название «структурная теорема Веддербёрна» является общепринятым и будет использоваться в этой книге.