§ 18.3. Нормирования полей алгебраических чисел

Полем алгебраических чисел называется такое подполе F поля С, что Мы воспользуемся результатами предыдущего параграфа для описания нормирований полей алгебраических чисел.

Предложение. Пусть поле алгебраических чисел. Тогда справедливы следующие утверждения.

(i) Всякое нетривиальное нормирование поля F делит нетривиальное нормирование поля Q.

(ii) Если нетривиальное неархимедово нормирование поля то делит нормирование поля для единственного простого числа дискретно, конечное поле и локальное поле. Для каждого простого числа существует самое большее продолжений нормирования на поле в действительности .

(iii) Всякое архимедово нормирование поля F эквивалентно нормированию где — ненулевой гомоморфизм полей. Существует самое большее классов эквивалентности архимедовых нормирований поля

Доказательство. Если нормирование и нетривиально, то нетривиально и нормирование в силу (доказательства) леммы 17.7а. Если нормирование нетривиально и неархимедово, то нормирование также неархимедово. Следовательно, эквивалентно нормированию для единственного простого числа Оставшиеся утверждения в (ii) вытекают из предложения 18.2: предположение о сепарабельности автоматически выполнено ввиду того, что Если нормирование архимедово, то ограничение эквивалентно абсолютной величине Так как и расширение конечно, то либо либо С-Следовательно, утверждения (iii) также следуют из предложения

Если поле алгебраических чисел К является расширением поля алгебраических чисел нормирование поля нормирование поля К, делящее то конечное расширение, степень которого называется локальной степенью расширения относительно нормирования В случае когда расширение Галуа, поля в силу следствия как -алгебры совпадают для всех продолжений нормирования В частности, локальные степени относительно продолжений нормирования одинаковы. В этом случае мы будем писать

вместо и обозначать локальную степень «относительно v» через

Следствие. Пусть расширение Галуа, причем поля алгебраических чисел. Предположим, что нетривиальное нормирование поля продолжение на поле К. Тогда имеют место следующие утверждения:

(i) степень делит степень ;

(ii) если дискретное нормирование и то группа разложения нормирования до циклична, существует единственная образующая группы такая, что до для всех где если то

Доказательство. В силу следствия имеем и потому делит для всех продолжений до нормирования Поскольку это замечание доказывает утверждение Пусть нормирование дискретно и для одного (а следовательно, и для каждого) его продолжения до. Ввиду предложения т. е. неразветвленное расширение локальные поля). Следовательно, в соответствии с результатами § 17.8 группа циклическая с образующей автоморфизмом Фробениуса. Образующая группы является образом автоморфизма Фробениуса при изоморфизме групп Автоморфизм характеризуется условием для всех это следует из аналогичной характеризации автоморфизма Фробениуса. Если то и Поэтому

Элемент группы называется автоморфизмом Фробениуса расширения относительно нормирования до. Если расширение Галуа, то эти автоморфизмы определяются для всех дискретных нормирований поля К, таких, что Как мы увидим позже, почти все нормирования К обладают этим свойством. Ясно, что если и -эквивалентные нормирования.

Если абелево расширение, т. е. расширение Галуа и группа абелева, то в силу второй части утверждения (ii) предыдущего следствия если до и до делят одно и то же нормирование В этом случае отображение можно рассматривать как отображение некоторого

жества дискретных нормирований поля F в группу и естественно писать вместо если Эти замечания применимы, в частности, к случаю циклического расширения

При изучении полей алгебраических чисел неудобства работы с классами эквивалентных нормирований можно избежать. Существует несколько способов выбора канонического представителя из каждого класса эквивалентных нормирований. Способ, который мы примем, ведет к элегантной формуле произведения, принадлежащей Артину и Несбиту.

Пусть нетривиальное нормирование поля алгебраических чисел В силу доказанного выше предложения делит нетривиальное нормирование поля где простое число или т. е. либо -адическое нормирование либо абсолютная величина. Если где если то называется нормализованным нормированием поля Каждое нетривиальное нормирование поля F эквивалентно единственному нормализованному нормированию. Кроме того, если простое число или то число нормирований, делящих нормирование конечно. Обозначим через множество всех (нетривиальных) нормализованных нормирований поля если простое число или бесконечность, пусть делит

Лемма. Пусть поля алгебраических чисел, причем Тогда справедливы следующие утверждения.

(ii) Если расширение Галуа, а и то

(iii) Если расширение Галуа, то .

(iv) Если простое число или то

Доказательство. Пусть где простое число или Заметим, что если то Кроме того, для некоторого натурального Если то Следовательно,

Предположим, что расширение Галуа. Положим Ясно, что если то Поэтому

Кроме того, в силу следствия Таким образом, Пусть группа разложения нормирования Ввиду следствия порядок группы равен для автоморфизмов тогда и только тогда, когда а Если разложение группы на смежные классы по подгруппе то

Так как извлечение корней степени в является однозначным, это вычисление доказывает утверждение Для доказательства утверждения (iv) рассмотрим поле алгебраических чисел К, такое, что расширение Галуа и Таким образом, расширение Галуа. Пусть тогда Заметим, что если то существует единственное нормирование такое, что Обратно, из вытекает, что Следовательно, если то

что доказывает утверждение

Из леммы вытекает важное свойство нормализованных нормирований.

Формула произведения. Пусть поле алгебраических чисел и Тогда для почти всех нормирований

Доказательство. Так как то х является алгебраическим элементом над например где и Множество X всех простых делителей числителей и знаменателей коэффициентов конечно; и если простое число, не принадлежащее множеству X, то если только Пусть простое число, Тогда нормирование неархимедово и если Из принципа доминирования теперь следует, что Действительно, если то из для вытекает, что Если то для

значит, и Поэтому если нормирование не принадлежит конечному множеству В частности, произведение конечно. В силу предыдущей леммы простые числа. Нетрудно усмотреть из определения -адических нормирований, что для произвольного рационального числа с произведение равно 1 (см. упр. 2 § 17.2).

Мы будем часто использовать ту часть этого результата, которая утверждает, что для почти всех нормирований Сама формула произведения не так уж важна для нас. Однако это равенство играет важную роль в теории полей классов и появляется в явном виде во многих результатах, которые будут сформулированы в нескольких ближайших параграфах.