§ 12.4. Центральные простые алгебры

Алгебра А над полем F называется центральной простой, если она проста и Всякая простая алгебра является центральной простой над своим центром, так что изучение простых алгебр распадается на две части: изучение расширений скаляров и изучение центральных простых алгебр. В этом параграфе мы сосредоточим внимание на центральных простых алгебрах с акцентом на их тензорных произведениях. В упр. 3 и 4 в конце параграфа приведены некоторые результаты о тензорных произведениях простых алгебр, которые не являются центральными.

Начнем с рассмотрения тензорных произведений, в которых один из сомножителей является центральным простым. В этом случае описание тензорного произведения оказывается более простым.

Лемма а. Пусть подалгебры F-алгебры А, такие, что Предположим, что В — центральная простая алгебра. Если — линейно независимая система элементов из то равенство влечет за собой

Доказательство. Из предположения вытекает, что А является С-В-бимодулем, т. е.

для всех . По лемме 12.1 В — простой -модуль и Так как система линейно независима, то из теоремы плотности следует, что содержит элементы со свойством для Таким образом, равенство влечет за собой

Предложение а. Пусть подалгебры конечномерной F-алгебры А, такие, что и В — центральная простая ллгебра. Следующие условия эквивалентны:

(iii) отображения вложения алгебр в А индуцируют изоморфизм .

Доказательство. Пусть базис -пространства В, а базис С. Если элементы таковы, что то в силу леммы а Для Следовательно, для всех Это замечание доказывает линейную независимость системы Тогда из условия (i) или из условия (ii) вытекает, что эта система является базисом алгебры А, что влечет за собой соотношение в силу предложения 9.2с. Из этого же предложения вытекает, что (iii) влечет за собой

В случае когда подалгебры алгебры А таковы, что отображения вложения индуцируют изоморфизм между мы будем писать и называть А внутренним тензорным произведением В и С. Если являются F-алгебрами, то гомоморфизмы отображают изоморфно на соответствующие подалгебры алгебры Мы будем отождествлять

Лемма b. Пусть алгебры над полем F.

(i) Если алгебра проста, то просты обе алгебры

(ii) Если В — центральная простая алгебра и алгебра С проста, то проста и алгебра

Доказательство, (i) Если алгебра В не является простой, то либо либо существует ненулевой гомоморфизм такой, что Во втором случае — ненулевой гомоморфизм с ненулевым ядром, откуда следует непростота В случае когда С не является простой, рассуждение аналогично.

(ii) Поскольку алгебры просты, они не могут быть нулевыми и, следовательно, Пусть ненулевой гомоморфизм. Так как простые алгебры, то ограничения инъективны. Итак, центральная простая алгебра и Пусть где линейно независимы в В. Так как то из леммы а следует, что Ввиду инъективности тогда получаем откуда Это рассуждение показывает, что всякий ненулевой гомоморфизм алгебры инъективен. Следовательно, алгебра проста.

Лемма с. Пусть алгебры над полем Положим Тогда

Доказательство. Пусть - базис -пространства С. В силу предложения каждый элемент из А имеет вид элементы В однозначно определены элементом Если то для всех Следовательно, для всех Таким образом, каждый элемент принадлежит центру алгебры В, и потому Это рассуждение показывает, что Обратное включение очевидно. В силу симметрии Следовательно,

Предложение Пусть центральные простые F-алгебры, поле, также являющееся F-алгеброй. Тогда

(i) — центральная простая алгебра,

(ii) - центральная простая -алгебра;

(iii) В — центральная простая алгебра,

Доказательство. Свойства являются частными случаями лемм Утверждение (iii) немедленно следует из того, что и Из вытекает, что — простая алгебра. Следовательно, и если то в силу следствия

Приводимое ниже следствие из предложения было использовано в доказательстве предложения 10.7.

Следствие. Всякая конечномерная центральная простая F-алгебра сепарабельна.

Для доказательства достаточно воспользоваться следствием 10.6 и утверждением (ii) предложения

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)