§ 4.8. Идеалы в артиновых алгебрах

Настоящую главу мы завершим некоторыми результатами о решетках идеалов. Если алгебра А полупроста, то решетка дистрибутивна. Этот (и даже несколько более общий) факт будет доказан в лемме а. Тем самым вопрос о дистрибутивности решетки сводится к изучению решетки подбимодулей радикала если алгебра полупроста. Полученным на этом пути критерием мы воспользуемся в гл. 11.

Лемма а. Пусть А — полупростая алгебра. Тогда

(i) если правый идеал в левый, то

(ii) решетка дистрибутивна.

Доказательство, ибо и ибо Следовательно, Ввиду полупростоты из предложения 2.4 вытекает, что для подходящего правого идеала алгебры Следовательно, откуда ввиду свойства модулярности

Если и К — идеалы в то, согласно Таким образом, решетка дистрибутивна.

Вторая часть этой леммы вытекает также из упр. к § 3.5.

Лемма Пусть А — такая алгебра, что факторалгебра полупроста. Тогда существуют сюръективные гомоморфизмы решеток и -> решетка подбимодулей в такие, что из следует, что

Доказательство. Пусть гомоморфизм проекции. Из сюръективности вытекает, что для всех Если идеалы в то по лемме а. Таким образом, является гомоморфизмом решеток. В силу теоремы о соответствии каждый идеал в имеет вид для подходящего идеала т. е. сюръективен. Определим о: положив Очевидно, что для Если где то Таким образом, где Следовательно, так что Это вычисление показывает, что откуда а — гомоморфизм решеток. Каждый подбимодуль в является идеалом в так что а сюръективно. Наконец, предположим, что Если то существует такой, что Отсюда следует, что Аналогично, если то Следовательно,

Предложение. Пусть А — артинова алгебра. Тогда решетка ее идеалов дистрибутивна в том и только том случае, если решетка подбимодулей в дистрибутивна.

Доказательство. Так как является подрешеткой в то из дистрибутивности очевидно, следует

дистрибутивность Обратно, предположим, что решетка дистрибутивна. Пусть идеалы в А. Тогда Аналогично, из леммы а вытекает, что По лемме

Читатель, знакомый с аппаратом универсальной алгебры, заметит, что лемма утверждает, что решетка является подпрямым произведением решеток В частности, решетка изоморфна подрешетке произведения решеток В этом в сущности и заключается смысл предложения.

Упражнения

(см. скан)

Замечания к гл. 4

Первые четыре параграфа этой главы представляют собой упрощенный вариант изложения теорий радикала Джекобсона, принятого в книге Басса [17]. Результаты § 5 принадлежат Гопкинсу; в настоящее время они считаются стандартными и

входят в любую книгу по теории колец. Предложение 4.7 принадлежит Уоллесу [74]. Различные свойства радикала, приведенные в упражнениях, восходят к ранним исследованиям Джекобсона. Более полное изложение радикала Джекобсона можно найти в его книге [46]. В монографии Дивинского [28] дано исчерпывающее изложение общей теории радикалов. Результаты, приведенные в упр. 2 и 3 к § 4.6, а также в упр. 2 к § 4.7, принадлежат Брауэру. Они играют важную роль в теории модулярных представлений групп.