§ 18.2. Еще о продолжении нормирований

Нашей целью в этом параграфе является обозрение всех продолжений на поле К нормирования поля F в случае, когда конечное сепарабельное расширение. Подход к решению этой задачи таков: продолжить нормирование до нормирования поля продолжить до нормирования поля где композит полей над рассмотрев ограничение нормирования поля возвратиться к полю К.

Мы будем писать или , если до является продолжением нормирования на поле К, содержащее F в качестве подполя. Если ограничение эквивалентно нормированию хотя и не совпадает с то говорят, что нормирование делит нормирование Это свойство обозначается следующим образом: Если неархимедовы нормирования, то из предложения 17.3 следует, что а тогда и только тогда, когда Иными словами, идеал делит идеал

Нам потребуется следующее обобщение следствия

Лемма а. Пусть башня полей. Если дискретное нормирование поля то

Первая часть доказательства следствия дает утверждение поскольку предположение о локальности поля F там не использовалось. Доказательство утверждения (ii) мы оставляем читателю в качестве простого упражнения.

Следующая техническая лемма приводит к основному результату параграфа. В формулировке леммы топологические термины относятся к метрикам и топологиям, определяемым нормированиями.

Лемма b. Пусть поля, такие, что Предположим, что нормирование поля а и, до — продолжения соответственно на поля -Предположим, что поле локально компактно (т. е. кольцо компактно), поле F плотно в

изометрический гомоморфизм F-алгебр. Тогда имеют место следующие утверждения:

(i) существует изометрический изоморфизм F-алгебр ;

(ii) множество замкнуто в а множество плотно в

(iii) существует продолжение гомоморфизма до изометрического изоморфизма F-алгебр

Доказательство. Из предположений о локальной компактности (и, следовательно, его полноте) и о плотности вытекает в силу следствия 17.4а, что поля изоморфны и алгебраически, и топологически. Изометрический изоморфизм определяется следующим образом: для есть предел последовательности Коши сходящейся к элементу Поскольку из леммы следует, что равномерная топология -пространства совпадает с -топологией. Кроме того, поле локально компактно в равномерной топологии, а потому и в -топологии. В частности, поле полно, а следовательно, и замкнуто в Так как поле F плотно в ясно, что плотно в Если -последовательность Коши в поле К, сходящаяся к элементу то последовательность Коши в которая сходится к элементу Стандартная проверка показывает, что отображение корректно определенный изометрический изоморфизм -алгебр

Предложение. Пусть нетривиальное нормирование поля такое, что F локально компактно. Предположим, что конечное сепарабельное расширение. Если нормирование поля К, продолжающее то пусть обозначает пополнение поля К в -топологии, стандартное вложение поля К в изометрический гомоморфизм F-алгебры F в замыкание поля (определенный в лемме Отображение индуцирует биекцию между продолжениями нормирования на поле К и классами эквивалентности композитов полей над полем Если нормирование дискретно, то все его продолжения дискретны,

Доказательство. Если продолжение нормирования на поле К, то композит полей над полем Действительно, множество замкнуто в поле в силу леммы следовательно,

Пусть композит полей над полем Мы хотим сопоставить этому композиту некоторое продолжение нормирования Поскольку поле F локально компактно по предположению и из предложения 17.6 вытекает, что существует единственное нормирование до поля такое, что до для всех Определим нормирование до поля К по формуле до Если то так что Мы должны показать, что с точностью до эквивалентности композитов эти конструкции взаимно обратны. В одну сторону все просто: до — продолжение нормирования и, соответствующее композиту Действительно, продолжение нормирования до на поле удовлетворяет условию для всех поскольку -изометрия, и, очевидно, для всех элементов Предположим, что нормирование до получено с помощью нашей конструкции из композита Покажем, что композит эквивалентен композиту В силу определения нормирований до и до отображения являются изометриями. Из предложения 17.6 следует, что поле локально компактно, а следовательно, и полно в -топологии. По лемме множество плотно в поле Поэтому отображение продолжается до изометрического изоморфизма 0: В силу определения отображения имеем Чтобы доказать, что положим где Так как изометрические отображения, то имеем (Верхние индексы при указывают пространства, в которых берутся пределы.) Далее мы покажем, что эквивалентные композиты дают одно и то же продолжение нормирования Пусть эквивалентные композиты и изоморфизм, такой, что Обозначим нормирования, ассоциированные с композитами через соответственно. Отображение является нормированием поля таким, что до для всех Из утверждения о единственности предложения 17.6 следует, что до при В частности, если то Остается понять, какие следствия вытекают из дискретности. Пусть дискретное нормирование поля Если композит полей то продолжение нормирования до нормирования поля дискретно ввиду предложения 17.4 и последующее продолжение до нормирования до поля также дискретно в соответствии с предложением 17.6. Следовательно, нормирование поля К, соответствующее композиту дискретно. Из предложения 17.4 и его следствия

вытекает, что Таким образом, в силу леммы а. Ввиду предложения

Следствие а. Пусть нетривиальное нормирование поля такое, что поле F локально компактно. Если конечное сепарабельное расширение, то существует конечное число различных продолжений нормирования на поле Если нормирование дискретно, то таковы же и все

Это утверждение следует из предложения и леммы 18.1а.

Следствие Пусть нетривиальное нормирование поля такое, что поле локально компактно. Предположим, что расширение Галуа. Если нормирование поля К, продолжающее то для всех автоморфизмов нормирование является продолжением нормирования на поле К, где при всех Любое продолжение нормирования на поле К имеет вид для некоторого

Доказательство. Если то композит полей над полем F и соответствующее нормирование поля К определяется по правилу Следовательно, продолжение нормирования на поле Ввиду леммы и предыдущего предложения любое продолжение нормирования на поле К имеет вид для некоторого а

Если расширение Галуа, то следствие дает полную классификацию нормирований поля К, продолжающих нормирование поля В нашем последнем следствии перечисляется ряд фактов, вытекающих из этой классификации.

Следствие с. В предположениях и обозначениях следствия справедливы следующие утверждения:

(i) поле как алгебра над полем F не зависит от выбора нормирования w,

(ii) — расширение Галуа)

(iii) отображение — инъективный гомоморфизм группы в группу образ этого гомоморфизма есть

(iv) если то тогда и только тогда, когда в частности, и

(v) если нормирование дискретно, то где индекс подгруппы в группе

Доказательство. Утверждение (i) вытекает непосредственно из предложения и следствия Свойства являются переформулировкой (применительно к данной ситуации) леммы Для доказательства утверждения (iv) заметим, что когда и только тогда, когда композит эквивалентен композиту т. е. существует автоморфизм поля такой, что и . Равенство эквивалентно тому, что второе равенство преобразуется в (следует заметить, что переход к экспоненциальной записи композиции отображений меняет порядок сомножителей в произведении отображений и о). Последнее свойство из утверждения (iv) получается из легко проверяемого замечания, что Наконец, если дискретное нормирование, то в силу утверждения (i).

Группа называется группой разложения нормирования Если группа абелева, то подгруппы совпадают для всех продолжений нормирования В этом случае обычно пишут вместо и отождествляют эту группу с группой

Упражнения

(см. скан)