§ 14.1. Скрещенные произведения
Пусть 
конечное расширение Галуа. В этом случае существует конструкция, позволяющая строить центральные простые 
-алгебры, содержащие 
в качестве строго максимального подполя. Согласно следствию 13.5, при помощи такой алгебры можно представить всякий элемент относительной группы Брауэра 
Здесь мы описываем эту конструкцию.
Всюду в этом параграфе 
обозначает расширение Галуа с группой Галуа 
Для удобства действие группы 
на элемент с поля 
обозначается экспоненциально, а именно 
Лемма. Предположим, что алгебра 
содержит 
в качестве строго максимального подполя. Тогда
(i) Существует множество 
такое, что для всех с 
(ii) Если множество 
удовлетворяет 
то оно является базисом 
-пространства 
кроме того, если 
то 
(iii) Если 
и 
определено, как в 
то 
для всех 
Доказательство. Утверждение (i) есть частный случай теоремы Нётер — Сколема. Для доказательства первой части утверждения (ii) достаточно показать, что множество 
линейно независимо, так как из строгой максимальности 
следует, что 
Если предположить, что элементы на линейно зависимы над 
то имеется соотношение минимальной длины 
иаса 
в котором 
для 
и 
Поскольку 
для всякого 
то множество X содержит по крайней мере два элемента. Для каждого 
из равенства (1) вытекает, что 
Ввиду минимальности длины соотношения 
иаса 
последовательности 
должны быть пропорциональны, т. е. 
для всех 
Последнее противоречит тому, что 
и доказывает, что 
есть базис
пространства 
Для дальнейших ссылок отметим, что в доказательстве линейной независимости множества 
использовалось только равенство (1). Простое вычисление, основанное на свойстве (1), показывает, что 
для всех 
Следовательно, 
ввиду следствия 
Ясно, что 
Наконец,
Утверждение (iii) очевидно.
Отображение 
введенное в утверждении 
определяет коцепь, а равенство (2) есть условие коцикла для подходящих групп когомологий. Детали этого отождествления будут даны в следующем параграфе.
Предложение. Пусть 
расширение Галуа с группой Галуа 
Предположим, что отображение 
удовлетворяет условию коцикла. Пусть 
-базис 
-пространства 
Определим отображение 
с помощью соотношения
Тогда отображение 
является F-билинейным и определяет произведение на А, такое, что 
строго максимальное подполе алгебры А, базис 
удовлетворяет условию из 
леммы и 
Доказательство, 
-билинейность отображения 
вытекает из того, что группа 
действует тривиально на элементах поля 
С помощью различных вычислений из вида условия коцикла 
вытекает, что отображение 
определяет ассоциативное умножение. Легко также проверить, что 
так что 
подполе А, изоморфное 
Кроме того, 
для 
Если 
— сюръективный гомоморфизм 
-алгебр, то 
инъективно и множество 
удовлетворяет соотношению (1). Как было отмечено в доказательстве леммы, это влечет за собой линейную независимость над 
элементов множества 
Таким образом, 
и потому 
изоморфизм.
Следовательно, алгебра А проста. Если 
то для всех 
Отсюда следует, что 
для всех 
и 
таким образом, 
для всех 
Это означает, что 
для некоторого 
В самом деле, так как 
для всех 
то, ввиду того что 
расширение Галуа, получаем, что 
Алгебра А, построенная с помощью конструкции, описанной в этом предложении, называется скрещенным произведением 
относительно 
Мы будем обозначать ее через 
Как обычно, 
будет отождествляться с подполем 
алгебры А и для 
элемент 
будет обозначаться через с.
Следствие. Отображение 
является сюръективным отображением из множества отображений 
удовлетворяющих условию коцикла, в группу 
Конструкция скрещенного произведения 
несколько упрощается, если отображение 
нормализовано, т. е. 
В этом случае 
и из условия коцикла вытекает, что 
для всех ней, Из леммы следует, что для произвольного отображения 
удовлетворяющего условию коцикла, существует нормализованное отображение 
такое, что 
Пример. Пусть 
расширение Галуа, 
Положим 
Левое регулярное представление отображает 
в строго максимальное подполе из А. Для 
и определим 
с помощью равенства 
Если 
то 
т. е. 
Кроме того, 
для 
Таким образом, 
где 
для всех 
Упражнения
(см. скан)
