§ 9.5. Индуцированные модули

В этом параграфе мы используем тензорные произведения для того, чтобы осуществить переход от -модулей к -модулям, где А — подалгебра в В. Данная конструкция имеет важные приложения в теории представлений групп. При этом мы в первый раз используем тензорные произведения над некоммутативными алгебрами.

Лемма а. Пусть некоторые R-алгебры. Тогда если правый -модуль, некоторый -бимодуль, то тензорное произведение является правым -модулем, умножение на скаляры в котором удовлетворяет условию

Доказательство. Для определим отображение формулой Очевидно, что отображение является -билинейным и Поэтому существует эндоморфизм произведения рассматриваемого как

дуль, удовлетворяющий условию Стандартные вычисления с тензорами ранга один дают Таким образом, является -модулем с операцией для Кроме того,

Симметричные рассуждения показывают, что если является -бимодулем, левым -модулем, то произведение является левым -модулем. В случае когда и и являются бимодулями, тензорное произведение также является бимодулем. В самом деле, предположим, что является -бимодулем, а есть -бимодуль. Тогда тензорное произведение является левым -модулем и правым -модулем, и для имеем что означает выполнение условия ассоциативности из определения бимодуля. Наконец, если и то а

Теперь имеет смысл говорить об обобщенном законе ассоциативности для тензорных произведений над алгебрами.

Следствие а. Пусть некоторые R-алгебры. Тогда если правый -модуль, некоторый -бимодуль и левый -модуль, то как R-модули. Если один из модулей или является бимодулем, то данный изоморфизм является изоморфизмом модулей, а в случае, когда и и являются бимодулями, — изоморфизмом бимодулей.

Для доказательства достаточно уточнить рассуждения из доказательства предложения 9.1а.

Для нас наиболее важен тот случай, когда является R-алгеброй В, которая содержит А в качестве подалгебры. Тогда В можно, очевидно, рассматривать как -бимодуль. Следовательно, если правый -модуль, то произведение В является правым -модулем, который называется модулем, индуцированным с Обычно В обозначается через

Лемма Пусть некоторые R-алгебры, причем А является подалгеброй в подалгеброй в С. Предположим также, что правые -модули. Тогда имеют место следующие утверждения:

Кроме того, если являются бимодулями, то изоморфизмы в (i), (ii) и (iii) являются изоморфизмами бимодулей.

Доказательство этой леммы в сущности совпадает с доказательством следствия 9.4а. Отметим только, что для доказательства того, что данные изоморфизмы сохраняют умножение на скаляры, используется формула (1).

Если А — подалгебра в В, то стирающий функтор описанный в § 2.1, переводит -модули в -модули. Композиция отображений ограничения скаляров с отображениями индуцирования приводит к соответствию

Лемма с. Пусть некоторые R-алгебры, причем А является подалгеброй в В. Предположим также, что правый -модуло, а правый -модуль. Тогда существуют гомоморфизмы (правых -модулей) и (правых -модулей), такие, что

Если является -бимодулем, то гомоморфизм если является -бимодулем, то гомоморфизм -модулей.

Доказательство. Ясно, что (2) определяет гомоморфизм R-модулей. Если и то согласно и (1). Таким образом, является гомоморфизмом -модулей. Если является -би-модулем, то из (2), очевидно, следует, что гомоморфизм -модулей. Отображение определяемое формулой является -билинейным и сбалансированным (относительно операции умножения на скаляры из ). Отсюда следует, что существует такой гомоморфизм -модулей что Согласно (1), является гомоморфизмом -модулей, а если есть -бимодуль, то гомоморфизмом -модулей.

Мы будем обычно писать вместо вместо Эти отображения можно использовать для того, чтобы установить взаимосвязь между типами алгебр

Предложение а. Пусть артиновы алгебры, такие, что А — подалгебра в конечно порождена как правый -модуль. Справедливы следующие утверждения:

(i) Предположим, что для любого правого -модуля гомоморфизм является расщепляющейся инъекцией. Тогда если В имеет конечный тип, то А также имеет конечный тип.

(ii) Предположим, что для любого -модуля гомоморфизм является расщепляющейся сюръекцией.

Тогда если А — алгебра конечного типа, то и В имеет конечный тип.

Доказательство. Докажем доказательство (ii) аналогично (см. упр. 2). Пусть представители классов изоморфизма конечно порожденных неразложимых -модулей. Ввиду того что -модуль В конечно порожден, все модули также конечно порождены. По теореме Крулля — Шмидта каждый модуль однозначно представляется в виде конечной прямой суммы неразложимых модулей. Достаточно доказать, что любой конечно порожденный неразложимый -модуль изоморфен прямому слагаемому одного из Пусть где Ввиду того что отображение является расщепляющейся инъекцией, модуль изоморфен прямому слагаемому модуля Теорема Крулля — Шмидта дает тогда требуемое заключение о том, что является прямым слагаемым одного из ибо неразложим.

Чтобы применить предложение а, необходимо знать, когда гомоморфизмы расщепляются. Расщепляемость мы обсудим в настоящем параграфе, а расщепляемость в § 10.8.

Предложение Пусть А — подалгебра R-алгебры В. Тогда следующие условия эквивалентны:

(i) , где одновременно правый и левый А-под-модуль в

(ii) для любой R-алгебры С и любого -бимодуля гомоморфизм является расщепляющимся инъективным гомоморфизмом -бимодулей.

Доказательство. В силу (i) существует такой гомоморфизм -бимодулей что Ввиду того что является гомоморфизмом левых -модулей, отображение определенное формулой ( является билинейным и сбалансированным. Таким образом, существует такой гомоморфизм что Ясно, что является гомоморфизмом левых С-модулей; он также является гомоморфизмом правых -модулей, поскольку является гомоморфизмом правых -модулей. Наконец, так что Следовательно, является расщепляющейся инъекцией. Свойство (i) есть частный случай когда рассматривается как -бимодуль.

Суть предложения можно кратко сформулировать следующим образом: если гомоморфизм является расщепляющейся инъекцией, то расщепляющаяся инъекция для всех -модулей Удобно называть алгебру В расщепляющимся расширением алгебры если А является подалгеброй в конечно порожденным -модулем и где одновременно правый и левый -подмодуль в В.

Пример. Пусть — подгруппа конечной группы Тогда является расщепляющимся расширением для любого поля Действительно, где является -подбимодулем в ибо из того, что вытекает, что и

Следствие Пусть такие артиновы алгебры, что В является расщепляющимся расширением А. Тогда если В — алгебра конечного типа, то и А — алгебра конечного типа.

Следствие непосредственно вытекает из предложений Сопоставляя следствие а, приведенный выше пример и лемму 7.1, мы получаем одну из импликаций в характеризации Хигмана групповых алгебр конечного типа.

Следствие с. Пусть простое число, поле характеристики такая конечная группа, что групповая алгебра имеет конечный тип. Тогда силовские -подгруппы в цикличны.

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)