ГЛАВА 16. Нормы

Конечномерные центральные простые алгебры можно рассматривать как некоммутативный аналог конечных расширений полей. Если принять эту точку зрения, то естественно искать аналоги идей, которые оказались полезны в теории полей. В этой главе для центральных простых алгебр рассматривается аналог нормы расширения в теории полей. Такие отображения называются приведенными нормами.

Определение и основные свойства приведенных норм содержатся в первой половине главы. В последних трех параграфах понятие нормы используется для получения информации о мультипликативной структуре центральных простых алгебр. Эти рассмотрения приведут нас к одному из самых активно развивающихся направлений теории центральных простых алгебр, а именно исследованиям приведенной группы Уайтхеда.

Приведенные нормы появятся снова в последующих главах. Наиболее впечатляющее применение этого понятия будет дано в гл. 19 при доказательстве теоремы Тзена.

§ 16.1. Характеристический полином

В этом параграфе выдвигаются различные кандидатуры на роль нормы в ассоциативной алгебре. Мы покажем, что в классе центральных простых алгебр все эти нормы можно получить как степени одной, а именно приведенной нормы.

Для дальнейшего удобно обобщить определение представления F-алгебры из § 5.5. Пусть поле К — расширение поля натуральное число и гомоморфизм F-алгебр. Тогда будет называться представлением алгебры А. При это понятие совпадает с определением 5.5. Преимущества принятия такого более свободного определения вытекают из наших результатов о полях разложения, полученных

в § 13.2. Основываясь на предложении 13.2а, мы будем называть гомоморфизм расщепляющим представлением конечномерной центральной простой -алгебры А, если

Определение. Пусть представление -алгебры А. Под -характеристическим полиномом элемента мы понимаем выражение

-след и -норма элемента у определяются соотношениями

Два частных случая этого определения хорошо известны. Если тождественный гомоморфизм, то характеристический полином матрицы В этом случае гомоморфизм расщепляющее представление, так как Другой хорошо известный случай возникает, если А — конечное расширение поля матричное представление, соответствующее левому регулярному представлению поля А. В этой ситуации норма след

Из этого определения немедленно следует, что

Это тождество позволяет вывести ряд утверждений о следах и нормах из свойств характеристических полиномов.

Другое полезное замечание вытекает из известного свойства определителя.

Если , то

В самом деле,

Лемма. Пусть Если расщепляющее представление алгебры произвольное ее представление, то для некоторого

Доказательство. В силу предложения гомоморфизмы и продолжаются до гомоморфизмов -алгебр таких, что причем продолжение гомоморфизма в силу предложения 13.2а является изоморфизмом. Так как то инъективно, а из теоремы о двойном централизаторе следует, что В для подходящей алгебры Следовательно, где Определим отображение по правилу

По теореме Нётер — Сколема существует элемент такой, что для всех В частности, если то в силу свойства (2).

Предложение. Пусть Если расщепляющее представление алгебры А, то Кроме того, если другое расщепляющее представление алгебры А, то

Доказательство. Предположим, что расширение Галуа. Всякий автоморфизм определяет автоморфизм алгебры по правилу при этом композиция является расщепляющим представлением алгебры А-Ввиду леммы где действие а на полиномы из определяется его действием на их коэффициенты. Поскольку расширение Галуа, то Пусть другое расщепляющее представление. Тогда существует расширение К поля и гомоморфизмы F-алгебр и (см. упр. 1). Эти отображения продолжаются до гомоморфизмов F-алгебр по правилу Из предыдущей леммы следует, что поскольку и гомоморфизм F-алгебр. Таким образом, силу теоремы 13.5 существуют расщепляющие представления такие, что расширение Галуа. Это замечание завершает доказательство.

Предыдущее предложение позволяет упростить наши обозначения. Мы будем писать (или просто если это не ведет к путанице) вместо соответственно, где расщепляющее расширение алгебры А. Если у А, то называются характеристическим полиномом, следом и приведенной нормой у.

Следствие а. Пусть степень алгебры равна Если представление алгебры А, то число делит В частности для всех

Следствие Пусть расширение поля Если есть гомоморфизм F-алгебр, то для некоторого

для всех В частности, для всех

Доказательство. Пусть Предположим, что расщепляющее представление алгебры В.

Поскольку представление алгебры А, то в силу леммы для некоторого

Упражнения

(см. скан)