§ 17.4. Топология, определяемая нормированием

Пусть — нормирование алгебры с делением удовлетворяющее неравенству треугольника. Тогда определяет функцию расстояния по правилу

Таким образом, нормирование задает на алгебре метрическую топологию, в которой окрестности элемента определяются для чисел по правилу

Утверждение о том, что множества, определенные с помощью условия (2), образуют базу окрестностей хаусдорфовой топологии, является простым следствием неравенства треугольника. (В этой главе предполагаются известными некоторые стандартные результаты теоретико-множественной топологии.) Даже если нормирование не удовлетворяет неравенству треугольника, множества, определяемые с помощью условия (2), задают топологию, поскольку для всех и если число достаточно мало, то нормирование удовлетворяет неравенству треугольника в силу и предложения 17.1.

Для нормирования и алгебры с делением ее -топологией называется топология, которая определяется выбором семейства множеств в качестве базы окрестностей Таким образом, подмножество алгебры открыто в -топологии тогда и только тогда, когда оно является объединением множеств вида

Лемма а. Пусть нормирования алгебры Тогда открытые множества -топологии совпадают с открытыми множествами -топологии в том и только том случае, когда нормирования эквивалентны.

Доказательство. Мы уже отмечали, что эквивалентные нормирования порождают одинаковые базы окрестностей, а следовательно, и одинаковые топологии. Обратно, пусть -топология совпадает с -топологией; тогда существует число такое, что . Если элемент таков, что то для достаточно больших чисел Поэтому , т. е. Следовательно, В силу предложения 17.3 нормирование эквивалентно нормированию

В дальнейшем мы будем считать, что нормирование алгебры с делением удовлетворяющее неравенству

треугольника. Пусть функция расстояния, определенная правилом (1).

Лемма b. Функции, задающие сложение и вычитание в алгебре равномерно непрерывны; функция, задающая умножение, равномерно непрерывна на ограниченных подмножествах алгебры и функция равномерно непрерывна на множествах, отграниченных от нуля.

Эти факты вытекают из следующих оценок:

Метрическое пространство называется полным, если каждая последовательность Коши имеет в нем предел. Один из стандартных результатов топологии состоит в том, что всякое метрическое пространство X можно вложить в полное метрическое пространство такое, что X плотно в X и ограничение на X функции расстояния на пространстве X совпадает с исходной функцией расстояния на пространстве Пополнение X пространства X однозначно определено: если — полное метрическое пространство, содержащее X в качестве плотного подпространства, то существует единственный сохраняющий расстояние гомеоморфизм пространства X на пространство У, такой, что

Предложение. Пусть нормирование алгебры с делением Тогда существует алгебра с делением содержащая в качестве подалгебры, и нормирование алгебры такие, что:

(i) алгебра полна в -топологии;

(ii) алгебра плотна в

(v) если нормирование неархимедово, то ;

(vi) если поле, то также поле.

Алгебра с делением обладающая свойствами определена однозначно с точностью до изоморфизма, ограничение которого на тождественно.

Доказательство. Пусть пополнение метрического пространства Равномерная непрерывность функций, задающих кольцевые операции в влечет за собой однозначную продолжимость этих операций на пространство Например, пусть Тогда существуют ввиду плотности в пространстве последовательности такие,

что Эти последовательности Коши ограничены, так что по лемме последовательность является последовательностью Коши в Поскольку пространство полно, предел хпуп существует.

Нетрудно проверить, что этот предел не зависит от выбора последовательностей, сходящихся к элементам х и у. Поэтому формула хпуп дает определение произведения в

Сложение, вычитание и операция взятия обратного элемента получаются аналогично из соответствующих операций в алгебре с помощью предельного перехода. Соотношения из определения алгебры с делением или поля получаются в силу непрерывности из соответствующих условий в алгебре Например, если то где Если то где для всех Следовательно, подалгебра алгебры Для элемента положим По определению топологии, задаваемой метрикой, является непрерывным отображением группы так как Нетрудно видеть, что нормирование алгебры причем и — функция расстояния на индуцируемая функцией Поэтому алгебра полна в -топологии. Если нормирование неархимедово, то в силу условия (iv) неархимедово и нормирование В этом случае если то существует элемент такой, что В силу принципа доминирования тогда Значит, Единственность алгебры легко следует из леммы и предположения о том, что алгебра плотна в

Алгебра с делением называется пополнением алгебры в -топологии. Мы будем, как правило, пользоваться символом вместо для обозначения нормирования алгебры продолжающего нормирование алгебры

Следствие а. Пусть нормирование алгебры с делением такое, что алгебра полна в -топологии. Если А — подалгебра с делением алгебры то замыкание алгебры изоморфно А.

Доказательство. В силу непрерывности функций, определяющих операции вложения, вычитания, умножения и деления в замыкание В алгебры А является алгеброй с делением, содержащей А в качестве плотной подалгебры. Так как алгебра В

полна в -топологии, то ввиду утверждения о единственности в предыдущем предложении получаем В

Следствие Если неархимедово нормирование алгебры с делением то и Поэтому отображение вложения кольца в кольцо индуцирует изоморфизм алгебр и

Доказательство. Пусть тогда (поскольку алгебра плотна в алгебре существует элемент такой, что В силу принципа доминирования и Значит, Очевидно, что Поэтому

Если абсолютная величина в поле рациональных чисел, то пополнение является полем вещественных чисел Действительно, поле R полно относительно и поле плотно в нем. Пополнение поля в -топологии, определяемой простым числом называется полем -адических чисел. Мы будем обозначать его через

Последний результат этого параграфа демонстрирует полезность свойства полноты.

Лемма Гензеля. Пусть алгебра с делением над полем полная в топологии, определяемой ее неархимедовым нормированием Пусть причем полиномы производная полинома взаимно просты в кольце Тогда если элемент является корнем полинома то существует элемент такой, что

Доказательство. Так как коэффициенты полинома принадлежат полю то выражения имеют смысл. То же замечание относится и к аналогичным выражениям в доказательстве. Из предположения о взаимной простоте полиномов и равенства следует, что Следовательно, если смежный класс элемента то Это неравенство позволяет нам использовать х в качестве первого приближения искомого элемента у. Дальнейшее построение есть неархимедов аналог метода Ньютона для нахождения вещественных корней полинома. Воспользуемся разложениями Тэйлора

где Положим где Элемент выбирается так, что когда в равенство подставляется вместо вместо то мы получаем Из этого замечания и равенства (4) с помощью индукции получаем, что Следовательно,

Поэтому в силу полноты алгебры предел существует. Кроме того, и из следует, что

Существуют обобщенные варианты леммы Гензеля, но в этой главе они нам не потребуются.

Упражнения

(см. скан)