§ 16.6. Приведенная группа Уайтхеда

В этом параграфе содержатся некоторые элементарные результаты, связанные со строением группы для алгебры Мы покажем, что экспонента группы делит индекс алгебры что примарное разложение алгебры с делением влечет за собой соответствующее разложение и что группа тривиальна, если свободен от квадратов. Более глубокие свойства приведенной группы Уайтхеда описаны в замечаниях к этой главе. Чтобы избежать рассмотрения исключительного случая мы будем предполагать в этом параграфе, что

Лемма. Пусть конечное расширение. Если алгебра с делением, гомоморфизм F-алгебр, то существует последовательность такая, что изоморфизм и где

Доказательство. Рассмотрим следующую диаграмму:

где вертикальные стрелки обозначают отображения вложения, отображение индуцировано вложением отображение индуцировано отображением и отображение индуцировано отображением изоморфизм, существование которого предполагается). В силу предложения следствия и предложения эта диаграмма коммутативна. Поскольку изоморфизм, то изоморфизмом является и отображение в силу предложения также изоморфизм. Таким образом, отображение является изоморфизмом. Если то смежный класс по подгруппе образа элемента х относительно цепочки преобразований В силу следствия Следовательно, бчрф

Предложение а. Если то экспонента группы делит

Доказательство. Ввиду следствия мы можем предполагать, что алгебра с делением. Пусть К — максимальное подполе алгебры так что Тогда в силу следствия Применим лемму в случае к левому регулярному представлению Если то

Предложение Если алгебра с делением и ее примарное разложение, то группа обладает примарным разложением

Доказательство. В силу предложения достаточно показать, что если алгебры с делением взаимно простых степеней то имеет место изоморфизм По предложению а экспонента группы

делит число так что где экспонента группы делит число а экспонента группы делит число В частности, В силу симметрии достаточно показать, что Определим отображение по правилу Ввиду предыдущей леммы имеем последовательность гомоморфизмов где — изоморфизм и Таким образом,

Следовательно, сюръективный гомоморфизм. Доказательство будет завершено, если показать, что отображение инъективно. Для этого воспользуемся леммой для случая, когда гомоморфизм есть левое регулярное представление чтобы получить последовательность гомоморфизмов где Простая проверка показывает, что Если то Следовательно, отображение инъективно.

Предложение с. Пусть алгебра с делением и конечное расширение, такое, что степень взаимно проста со степенью Тогда гомоморфизм вложения индуцирует расщепляющийся гомоморфизм вложения

Доказательство. Пусть Ввиду леммы левое регулярное представление приводит к последовательности где Так как то в силу предложения а автоморфизм группы Поэтому —расщепляющееся вложение.

Теорема. Если индекс алгебры свободен от квадратов, то

Доказательство. Ввиду следствия и предложения можно предположить, что алгебра с делением простой степени Пусть такой, что Мы должны показать, что Это утверждение вытекает из следующего.

Существует конечное расширение такое, что не делит степени и алгебра содержит максимальное подполе такое, что циклическое расширение

Действительно, из утверждения (1) следует, что в силу предложений 16.2а и следствия Поскольку расширение циклично, то из теоремы Гильберта 90 и теоремы Нётер — Сколема вытекает, что (см. упр. 1 и 2). Ввиду предложения с тогда Доказательство утверждения является упрощенным вариантом (с небольшим изменением) доказательства леммы 15.2: расширение сепарабельно, так что существует максимальное подполе К алгебры такое, что сепарабельно и то, очевидно, расширение сепарабельно. Если то в силу предложения 16.2а и условия будем иметь поскольку то расширение снова обязано быть сепарабельным.) Из доказательства леммы 15.2 вытекает существование конечного расширения такого, что число не делит степень расширение Галуа. Следовательно, максимальное подполе алгебры циклическое расширение

Упражнения

(см. скан)

Замечания к гл. 16

Характеристические полиномы, следы и приведенные нормы рассматриваются в большинстве изложений теории ассоциативных алгебр. Рассмотрение этих тем в первых трех параграфах главы традиционно. Связь между некоммутативным

определителем Дьедонне и приведенной нормой впервые рассматривалась Вангом в работе [75]. Большинство результатов о группе содержащихся в § 16.6, были впервые доказаны Вангом там же. Одним из наиболее глубоких результатов о приведенной группе Уайтхеда является теорема Ванга о том, что если поле алгебраических чисел и то Первоначальные результаты, связанные с этой темой, наводили на мысль о том, что группа должна быть тривиальной для всех центральных простых алгебр А. Эта проблема получила название «проблема Таннаки — Артина». В 1975 г. В. П. Платонов показал, что существуют алгебры А, такие, что В настоящее время известно, что практически все абелевы группы ограниченной экспоненты реализуются в качестве приведенных групп Уайтхеда. Подробное описание проблемы Таннаки-Артина содержится в монографии [32]. Имеется также интересное и краткое изложение этой темы в обзорной статье Платонова [63]