§ 20.5. Общие матричные алгебры

В этом параграфе мы начинаем изучение свободных -алгебр на стандартном алфавите Эти алгебры будут находиться в центре нашего внимания до конца главы. На

протяжении всего параграфа мы предполагаем, что поле F бесконечно и не будем повторять этого в условии каждого утверждения.

Для упрощения обозначений будем писать (или, если необходимо, вместо Таким образом, где множество является -идеалом тождеств, которым удовлетворяют центральные простые алгебры степени В качестве первого результата этого параграфа мы получим новое описание алгебры

Пусть множество независимых коммутирующих переменных. Как обычно, обозначает область целостности (коммутирующих) полиномов от всех переменных х с коэффициентом в поле F и поле частных кольца Для каждого числа положим

Матрицы называются стандартными общими -матрицами над полем Мы будем иногда пользоваться сокращениями вместо и Пусть обозначает F-подалгебру алгебры порожденную множеством алгебра называется общей матричной алгеброй степени над полем

Лемма, (i) .

(iii) , причем этот изоморфизм сопоставляет переменной матрицу

Доказательство. Включение (i) вытекает из замечания, что алгебра подалгебра алгебры содержащая множество Систему уравнений

можно разрешить относительно неизвестных причем решения будут линейными комбинациями матриц с коэффициентами из Действительно, матрица коэффициентов системы невырожденна по лемме 19.1. Таким образом,

что доказывает утверждение (ii) и даже немного больше. Так как в силу леммы из предложения вытекает существование гомоморфизма F-алгебр такого, что Образ гомоморфизма —подалгебра алгебры содержащая матрицы Следовательно,

сюръективный гомоморфизм. Пусть полином таков, что где проекция алгебры на Покажем, что тождество на алгебре так что Пусть где Существует гомоморфизм такой, что причем индуцирует гомоморфизм по правилу Ясно, что для Таким образом, Следовательно, изоморфизм.

Из леммы вытекает, что алгебру можно рассматривать как свободную -алгебру со свободным множеством образующих Таким образом, в дальнейшем алгебру везде можно заменить алгеброй Однако использование алгебр или в зависимости от контекста часто позволяет прояснять доказательства. Мы будем писать если будет необходимо подчеркнуть свойство свободы, и если на первом плане будут находиться матричные свойства.

Предложение. Если бесконечное поле, то некоммутативная область целостности.

Доказательство. Покажем, что первичная алгебра влечет за собой или и что не имеет ненулевых нильпотентных элементов. Справедливость предложения будет тогда следовать из элементарного вычисления. Пусть такие элементы алгебры что В силу леммы Поэтому Предположение о том, что алгебра содержит ненулевые нильпотентные элементы, эквивалентно существованию такого полинома что не является тождеством на алгебре в то время как тождество на для некоторого Согласно следствию 19.7, существует такое расширение К поля что содержит алгебру с делением степени (например, пусть где. В силу леммы и предложения 20.3 алгебра удовлетворяет тождеству но не удовлетворяет тождеству Это невозможно, поскольку алгебра с делением. Таким образом, алгебры без ненулевых нильпотентных элементов. Наконец, если то для всех Следовательно, или Поэтому область целостности.

Это предложение не имеет места без предположения о бесконечности поля F (см. упр. 2).

Упражнения

(см. скан)