§ 14.4. Экспоненты

В этом параграфе мы отклоняемся от формализма остальной части главы. Скрещенные произведения будут здесь использованы для доказательства отсутствия в группах Брауэра элементов бесконечного порядка.

Лемма а. Пусть А -алгебра индекса Тогда в группе

Доказательство. В силу предложения 13.4 и теоремы 13.5 можно предполагать, что алгебра А обладает строго максимальным подполем таким, что расширение Галуа. Из предложения 13.4 вытекает, что число делит пусть, например, Таким образом, где алгебра с делением степени Следовательно, существует -бимодуль размерности Так как подполе алгебры то является также правым -пространством. Из условия налагаемого на элементы и бимодуля и элементы вытекает, что Следовательно, мы имеем Пусть базис модуля По лемме обладает базисом таким, что при всех для всех где Таким образом, Реализуем правое регулярное представление алгебры на модуле матрицами, отвечающими выбору базиса В частности, если то

Пусть Так как обратима. Кроме того, так что

где Рассмотрим отображение определенное с помощью формулы Вычисляя определители правой и левой частей равенства (2), получим Следовательно, в группе По теореме

Предложение а. Если конечное расширение степени то для всех В частности, периодическая группа.

Доказательство. В силу леммы 13.2 поле расщепляет произвольную алгебру такую, что В этом случае делит по лемме 13.4. Поэтому в силу леммы

Тот факт, что периодическая группа, можно доказать непосредственно и даже в более общей форме. Набросок этого доказательства содержится в упр. 3.

Определение. Пусть Экспонентой алгебры называется порядок элемента в группе

Другими словами, есть наименьшее натуральное число такое, что тензорное произведение экземпляров алгебры А — матричная алгебра над Экспонента во многих отношениях аналогична индексу, а для важных классов алгебр эти инварианты совпадают. Оставшаяся часть параграфа посвящена доказательству основных свойств экспоненты.

Лемма Пусть индекс алгебры равен где простое число, не делит Тогда существует конечное сепарабельное расширение такое, что не делит

Доказательство. По теореме 13.5 существует расширение Галуа расщепляющее алгебру Пусть силовская -подгруппа группы и К — подполе неподвижных элементов

группы Тогда для некоторого и степень не делится на Из предложения 13.4 следует, что Действительно, делит как так и поскольку расщепляет алгебру Итак, где С другой стороны, число делит следовательно,

Предложение Пусть конечное расширение. Тогда имеют место следующие утверждения:

(ii) делит каждый простой делитель индекса алгебры А делит .

(iii) делит .

(iv) делит .

(v) Если взаимно прост с то .

(vi) делит наименьшее общее кратное

(vii) , где наибольший общий делитель

(viii) Если взаимно просты, то В этом случае если алгебры с делением, то — также алгебра с делением.

Доказательство. Утверждение (i) очевидным образом следует из определения экспоненты, а утверждения являются переформулировками элементарных теоретико-групповых фактов. Свойство (iii) вытекает из того, что отображение является гомоморфизмом групп и -Первая часть утверждения (ii) вытекает из леммы а, а вторая является следствием первой части, леммы и утверждения В самом деле, если делит то существует расширение такое, что где Следовательно, поскольку Поэтому делит Для доказательства (iv) положим Тогда поле К расщепляет алгебру так что в силу предложения делит Ввиду утверждений делит следовательно, делит Ясно, что (v) является следствием утверждений Остается доказать Согласно предположению и в силу взаимно просты. Следовательно, существует такое, что откуда В силу предложения

делит делит Аналогично, делит делит Следовательно, в силу предложения Если алгебры с делением, то так что — алгебра с делением.

В качестве следствия этого результата получаем, что каждая центральная простая алгебра с делением допускает примарное разложение.

Теорема о примарном разложении. Пусть алгебра с делением степени где различные простые числа и при Тогда существует единственное (с точностью до изоморфизма) разложение где -алгебра с делением степени

Доказательство. Согласно предложению

Пусть Тогда наибольший общий делитель чисел равен 1, т. е. при подходящих Для пусть единственная алгебра с делением, такая, что Тогда в силу предложения с. Следовательно, алгебра с делением, которая обязана быть изоморфной Кроме того, где Действительно, из равенств следует, что при Единственность алгебр вытекает из обратимости нашего построения.

Алгебры из формулировки теоремы называются примарными компонентами алгебры Многие вопросы об алгебрах с делением сводятся к случаю алгебр примарных степеней (т. е. примарных алгебр с делением).

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)