§ 15.7. Нециклическая алгебра с делением

Алгебры с делением степеней, больших 2, были открыты Диксоном в 1914 г. Это были циклические алгебры вида определенные в § 15.4. Проблема существования нециклических алгебр с делением оставалась открытой в течение восемнадцати лет после опубликования статьи Диксона. Наконец, в статье 1932 г. Алберт привел пример такой алгебры. Используя конструкцию из этой своей работы, он затем построил примеры нециклических алгебр с различными дополнительными свойствами. В этом параграфе мы опишем первый пример Алберта.

Пусть где элементы алгебраически независимы над линейно упорядоченным полем Например, К может быть произвольным подполем в Положим

Теорема. Алгебра А является нециклической алгеброй с делением.

В доказательстве теоремы используются четыре вспомогательных утверждения технического характера. Первые два из них имеют место для любых циклических расширений степени 4. Они не зависят от вида поля

Два других факта, которые нам необходимы, являются особыми свойствами именно поля В частности, они зависят от предположения о том, что поле К линейно упорядочено. Если то через мы будем обозначать степени полинома рассматриваемого как полином от соответственно.

В частности, из утверждения (4) следует, что А — алгебра с делением. Если А — циклическая алгебра, то в силу утверждений (1), (2) и (3) существует подполе степени 2 над такое, что для подходящих элементов Но для такого расширения ввиду утверждения является алгеброй с делением. В силу следствия не может быть алгеброй с делением, если подполе алгебры не совпадающее с Следовательно, алгебра нециклична.

Доказательства утверждений (1), (2) и (3) совсем просты. Мы предоставляем их читателю в качестве упражнений. Заключительная часть параграфа посвящена доказательству утверждения (4).

Лемма. Пусть поле, и Положим Следующие условия эквивалентны.

(i) A - алгебра с делением;

(ii) если максимальное подполе алгебры при то ,

(iii) если элементы удовлетворяют равенству то

Доказательство. Эквивалентность утверждений вытекает из двух замечании: в том и только том случае, когда максимальные подполя алгебры кватернионов имеют вид где гей — чистый кватернион и норма алгебры (см. упр 4 в § 13.1). Если утверждение (ii) не имеет места, то можно найти элементы такие, что а тогда алгебра имеет индекс 2 ввиду следствия Таким образом, из (i) следует (Более общий вид этой импликации содержится в упр. 1.) Предположим, что имеет место утверждение Тогда в силу следствия 13.4 (так как подполе алгебры для алгебры с делением. Для доказательства того, что А — алгебра с делением, достаточно поэтому показать, что если ненулевой элемент из А, то существует элемент и такой, что ненулевой элемент алгебры или алгебры для подходящих подполей алгебры Пусть элементы стандартного базиса алгебры кватернионов Тогда Пусть где Если то обратимый элемент в В противном случае Следовательно, мы можем считать, что где Так как то все доказано, за исключением случая, когда Пусть Тогда Если то из следует, что В этом случае

Докажем теперь утверждение (4). Пусть где квадратичные формы, ассоциированные с алгебрами § 1.7. В явном В силу леммы достаточно показать, что если векторы удовлетворяют уравнению то В силу однородности можно предполагать, что

Если билинейная форма, полученная поляризацией то Из предположения следует, что где Если обе части этого равенства равны нулю, то в силу В противном случае из (3) следует, что поскольку степень нечетна, а степень четна, если только равенства не имеют места. Аналогично, из следует, что Так как элементы отличны от нуля, то, применив утверждение (3) еще раз, получим

Упражнения

(см. скан)

Замечания к гл. 15

Материал, полеченный в этой главе, известен около 50 (или 60) лет. Тем не менее он кажется удивительно современным. Большинство приведенных здесь результатов принадлежит Алберту,

Диксону и Веддербёрну. Кроме примера из § 15.7, изложение основано на книге Алберта [3]. § 15.7 следует статье Алберта [2].

Завершим эти замечания обзором того, что известно о циклических алгебрах с делением. В этой главе было показано, что все алгебры с делением степеней два, три и шесть являются циклическими. Однако для степени четыре существуют нециклические алгебры. Алберт показал (например, в [1]), что каждая алгебра с делением степени четыре над полем F является скрещенным произведением (см. упр. 7 в § 20.8). Очень немного известно об алгебрах степени для простых больших трех. Брауэр доказал, что если алгебра с делением, для которой то существует разрешимое расширение степени 12, такое, что циклическая алгебра; по-прежнему неизвестно, будет ли такая алгебра циклической или даже скрещенным произведением. Амицур показал, что если число делится на 8 или квадрат нечетного простого числа, то существуют алгебры с делением степени которые не являются скрещенными произведениями. Мы докажем теорему Амицура в гл. 20. Гораздо больше известно об алгебрах с делением над полями специального вида. Ясно, что если то не возникает никаких вопросов об алгебрах с делением в Существуют, однако, важные классы полей, для которых группа нетривиальна, а все алгебры с делением из циклические. Мы докажем (в гл. 17 и 18), что к таким полям принадлежат локальные и числовые поля. Было бы "интересно описать поля для которых все алгебры с делением в цикличны, но достижение этой цели в настоящее время представляется маловероятным. Существует другая связанная с предыдущей проблема, по-видимому, более реальная: для каких полей F группа порождается классами эквивалентности циклических алгебр. Можно предположить, что все поля обладают этим свойством.