§ 2.4. Полупростые модули

Пусть подмодули -модуля Модуль называется дополнением к в если и Другими словами, есть прямая сумма подмодулей Отношение дополняемости одного подмодуля другим, очевидно, симметрично. В общем случае дополнение не единственно (см., однако, упр. 3 к § 2.2), и не все подмодули обладают дополнением в Основной результат этого параграфа состоит в том, что существование дополнения для любого подмодуля характеризует полупростые модули.

Лемма. Пусть модуль, представимый в где каждый подмодуль является простым. Тогда для любого подмодуля существует такое подмножество I множества индексов что

Доказательство. По лемме Цорна существует такое подмножество что множество максимально по отношению к свойству Положим максимальности вытекает, что для всех Следовательно, ввиду того, что каждый модуль прост, имеем для всех Поэтому

Предложение. Пусть правый -модуль. Тогда следующие условия эквивалентны:

(i) М полупрост

(iii) является решеткой с дополнениями, т. е. каждый подмодуль модуля обладает дополнением в

Доказательство. Ясно, что условие (ii) следует из (i) по определению полупростоты. Согласно предыдущей лемме, (ii) влечет за собой Эта лемма показывает также, что из (ii) следует (i) (надо положить Используя свойство модулярности, мы можем усилить условие (iii):

(iv) если то является решеткой с дополнениями.

Действительно, если то в силу (iii) существует подмодуль такой, что Отсюда следует, что Для завершения доказательства выведем из (iv) тот факт, что для любого собственного подмодуля модуля существует такой простой подмодуль что Этот результат даст (ii) и завершит «восьмерку» доказываемых эквивалентностей. Пусть По лемме Цорна можно предполагать, что является максимальным подмодулем со свойством и Применяя (iv) к модулю найдем такой подмодуль что Запишем и в виде где Так как и то частности, Если - ненулевой подмодуль в то из максимальности модуля следует, что Таким об:

разом, В частности, два ненулевых подмодуля модуля имеют ненулевое пересечение. С другой стороны, согласно решетка обладает дополнениями. Единственный способ избежать противоречия — заключить, что что модуль прост.

Следствие а. Если полупростой модуль и то модули полупросты.

Доказательство. Согласно Поэтому модули полупросты ввиду эквивалентности условий

Следствие Прямая сумма полупростых модулей является полупростым модулем.

Это следствие непосредственно вытекает из определения полупростых модулей.

Иногда полезно знать, когда решетка является дистрибутивной. Следующий результат дает решение этого вопроса для полупростого модуля

Следствие с. Пусть полупростой правый -модуль. Предположим, что где каждый модуль прост. Тогда решетка дистрибутивна в том и только том случае, если для всех из

Доказательство. Если ненулевой правый -модуль и то решетка не является дистрибутивной. Действительно, если то таким образом, Применительно к нашей ситуации это соображение показывает, что если решетка дистрибутивна, то всех Для доказательства обратной импликации для любого подмножества положим Так как сумма прямая, то для любых подмножеств очевидно, Таким образом, множество является дистрибутивной подрешеткой в

Доказательство будет завершено, если мы покажем, что Для положим Покажем, что Так как модуль прост, то из вытекает, что откуда Достаточно доказать, что ибо тогда, согласно свойству модулярности,

Предположим, что и выберем в подмножество К наименьшей мощности, для которого Очевидно, что К конечно и ввиду того, что для всех Для обозначим через гомоморфизм проекции, ассоциированный с разложением в прямую сумму. Так как то из минимальности вытекает, что Следовательно, поскольку модуль прост и получаем, что - изоморфно отображает на Но ввиду это противоречит предположению о том, что всех из

Упражнение

(см. скан)