ГЛАВА 12. Простые алгебры

В этой главе мы приступаем к систематическому изучению простых алгебр над полями. Наше внимание будет сосредоточено на конечномерных алгебрах. Исследование бесконечномерных простых алгебр наталкивается на труднопреодолимые препятствия, что приводит к теории, имеющей мало общего с теорией простых конечномерных алгебр.

Маяками в этой главе служат следующие четыре классические теоремы: теорема плотности Джекобсона, теорема Джекобсона — Бурбаки, теорема Нётер — Сколема и теорема о двойном централизаторе. Эти результаты вместе со структурной теоремой Веддербёрна являются фундаментом всей теории простых алгебр.

Центр играет ключевую роль в рассмотрении простых алгебр. Особенно важны центральные простые алгебры, т. е. такие простые алгебры над полем что Некоторые основные свойства этих алгебр устанавливаются в § 12.4. В § 12.5 вводится группа Брауэра, которая имеет фундаментальное значение в теории центральных простых алгебр. Вычисление группы Брауэра различных полей — основная тема последующих глав этой книги. § 12.6 и 12.7 посвящены доказательству теоремы Нётер — Сколема и теоремы о двойном централизаторе.

§ 12.1. Центры простых алгебр

Центр -алгебры А есть множество для всех Непосредственная проверка показывает, что

-подалгебра алгебры А. В частности, По определению -коммутативная подалгебра.

Центры играют важную роль в изучении простых алгебр. Их полезность будет все очевиднее по мере нашего продвижения к концу главы.

Лемма. Пусть А является R-алгеброй. Тогда имеют места следующие утверждения;

(i) А проста тогда и только тогда, когда она проста как правый -модуль

(ii) отображение где устанавливает изоморфизм

Доказательство. Первое утверждение — следствие того факта, что подмножество алгебры А является ее идеалом тогда и только тогда, когда есть -подмодуль модуля А. Утверждение (ii) вытекает из предложения 1.3 и того, что

Предыдущая лемма вместе с леммой Шура приводят к основному результату этого параграфа.

Предложение. Если А — простая алгебра, то -поле.

Ввиду этого предложения изучать простые алгебры над полями — это то же самое, что изучать простые алгебры над произвольными коммутативными кольцами.

Поскольку то в силу предложения и структурной теоремы Веддербёрна центр полупростой алгебры есть прямая сумма полей. Структурная теорема сводит также вычисление центра простой алгебры к определению центра алгебры с делением. Это утверждение основывается на соображении более общего характера:

Пример. Для произвольной алгебры имеет место равенство

Доказательство. Пусть где

Тогда для Следовательно, для т. е. для некоторого Поскольку для всех то Следовательно, Обратное включение очевидно.

Этот пример можно понимать как утверждение о центре некоторых алгебр эндоморфизмов: если конечно порожденный свободный -модуль, то

Упражнения

(см. скан)